ÁLGEBRA LINEAR (Subespaços Lineares)

1) Decida quais dos seguintes conjuntos geram R³

a) {(1, 3, 3), (4, 6, 4), (-2, 0, 2), (3, 3, 1)}

b) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

c) {(1, 4, 2), (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}

d) {(26, 47, 29), (0, 0, 0), (123, 0, 489)}

Resp: Letra b: pois são 3 vetores (x, y, z)


2) Qual o subespaço gerado por S= {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}

Solução:

a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (x , y, z)

a + b + c = x
b + c = y
c = z

c = z

b + c = y
b = y - c

a + b + c = x
a = x - y

S{(a, b,c) E R³  / a = x= y , b = y - z  e c = z)}

Dimensão  S = 3


3) Determine quais dos subconjuntos são bases de R²

a) {(1, 0), (0, 1)} É BASE: LI E GERA R²
b) {(1, 1), (0, 3)} É BASE E LI : E GERA R²
c) {(1, 0), (0, 3), (2, 5)} NÃO É BASE, POIS É LD -> R²    MAS GERA 3 VETORES
d) {(1, 2)} NÃO GERA R²
e) {(1, 1), (0, 0)}  É LD


4) Calcule uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços de cada um dos seguintes subespaços lineares.

a) S={(x, y) E R² / x + y  = 0}

b) S={(x, y, z) E R³ / x + y + 2z = 0}

c) S={(S={(x, y) E R³ / x + y + z = 0 e  x + y + 2z = 0}

d) S = {(x, y ,z , w) E R³  / x + y + z + w = 0 e   x + y + 2z = 0}

Solução:

a) x + y = 0
x = - y

S= {(-y, y), y E R }
Base = {(-1, 1)}
Dim S= 1


b) x + y + 2z = 0
x = -y - 2z

S = {(-y - 2z, y, z), y, z E R}
Base: y =1 , z = 0 e y = 0 e z = 1
Base de S = {(-1, 1, 0), (-2, 0, 1)}

Dim S = 2


c) x + y + z = 0
x + y + 2z = 0


x = -y - z
z = 0

S = {(-y -z, y, 0) onde z = 0}

S = {(-y, y, 0), y E R}

Dim S = 1
Base de S = {(-1, 1, 0)}


d) x + y + z + w = 0
x + y + 2z = 0

-z + w = 0
w = z

S = {(x, y, w, w) / y , y, z E R }  ou  S = {(x, y, z, z) / x,  y, z E R }

Base = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}
Dim S = 3 //