TABELA DE EQUAÇÃO LINEAR E ANGULAR
POSIÇÃO
S= θ.R (angulo em radianos)
VELOCIDADE
V= ω.R
ACELERAÇÃO
a= α.R (angulo em radianos)
rev - > ω = 2 . π
1) A posição angular de um ponto de uma roda é dada por θ = 2 + 4t2 + 2t3 , onde θ está em radianos e t em segundos. Em t = 0, qual é ?
a) Posição
θ = 2 + 4.02 + 2.03
θ = rad
θ = 2 + 4.02 + 2.03
θ = rad
b) Velocidade angular
θ = 2 + 4t2 + 2t3
θ' = 8t + 6t2
θ' = 8.0 + 6.02
θ' = 0
θ = 2 + 4t2 + 2t3
θ' = 8t + 6t2
θ' = 8.0 + 6.02
θ' = 0
c) aceleração angular em t = 4s
θ = 2 + 4t2 + 2t3
ω' = 8t + 6t2
ω' = 8 . 4 + 6 . 42
ω' = 128 rad/s
θ = 2 + 4t2 + 2t3
ω' = 8t + 6t2
ω' = 8 . 4 + 6 . 42
ω' = 128 rad/s
d) Calcule a aceleração angular em t = 2s
θ = 2 + 4t2 + 2t3
ω' = 8t + 6t2
ω' = 8t + 6t2
α'' = 8 + 12t
α'' = 8 + 12 . 2
α'' = 32 rad/s2
α'' = 8 + 12 . 2
α'' = 32 rad/s2
2) Um mergulhador realiza 2,5 giros ao saltar de uma plataforma de 10 metros. Supondo que a velocidade vertical inicial seja nula, determine a velocidade angular média do mergulhador.
3) A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por θ = 4t - 3t2 + t3 , onde está em radianos e t em segundos. Qual é a velocidade angular em :
a) t = 2s
ω' = 4 - 6t + 3t2
ω' = 4 - 6.2 + 3.22
ω' = 28 rad/s
ω' = 4 - 6t + 3t2
ω' = 4 - 6.2 + 3.22
ω' = 28 rad/s
b) t = 4s
ω' = 4 - 6.4 + 3.42
ω' = 28 rad/s
ω' = 4 - 6.4 + 3.42
ω' = 28 rad/s
c) Qual é a aceleração angular média no intervalo de tempo que começa em t = 2s e termina em 4s ?
θ = 4t - 3t2 + t3
ω' = 4 - 6.t + 3t2
α'' = -6 + 6t
α'' = - 6 + 6 . 2
α'' = 6 rad/s2
α'' = - 6 + 6 . 2
α'' = 6 rad/s2
4) A roda da figura tem oito raios de 30 cm igualmente espaçados, está montada em um eixo fixo e gira a 2,5 vezes rev/s. Você deseja atirar uma flecha de 20 cm de comprimento paralelamente ao eixo da roda sem atingir um dos raios, Suponha que a flecha e os raios são muito finos.
a) Qual é a menor velocidade que a flecha deve ter ? FIGURA
5) A aceleração angular de uma roda é α = 6t2 - 4t3. No instante t = 0, roda tem uma velocidade angular de 2 rad/s e uma posição angular de 1 rad. Escreva as expressões:
a) Para a velocidade angular em rad/s
α = 6t2 - 4t3
ω = 1.2 t5 – 1.33 t3 + 2.0
α = 6t2 - 4t3
ω = 1.2 t5 – 1.33 t3 + 2.0
b) Para a posição angular em rad em função do tempo em s
ω = 1.2 t5 – 1.33 t3 + 2
θ = 0,2t6 – 0,33 t4 + 2 t + 1
6) Um tambor gira em torno do eixo central com uma velocidade angular de 12,6 e aceleração de 4,2 rad/s2 .
a) Quanto tempo leva para parar ?
b) Qual é o angulo total descrito pelo tambor até parar ?
θ − θo = − 12,62 / 2 . 4,2
θ = 18,9 rad
7) Partindo do repouso, um disco gira em torno do eixo central com uma aceleração angular constante. O disco gira 25 rad em 5s . Durante esse tempo, qual é o módulo :
a) da aceleração angular
25 rad = 1/2 . α 52
α = rad/s2
b) da velocidade angular media
c) Qual é a velocidade angular instantânea do disco ao final dos 5s
ω = (2.0 rad/s2 ).(5 s)
ω = 10 rad/s
ω = (2.0 rad/s2 ).(5 s)
ω = 10 rad/s
d) Com a aceleração angular mantida, que angulo adicional o disco irá descrever nos 5s seguintes ?
θ = ω + α.t = 1/2 + (2.0 rad/s2 ). (10 s)2
θ = 100 rad
θ - θ0 = 100 - 25 rad
θ - θ0 = 75 rad
8) Um disco, inicialmente girando a 120 rad/s , é freado com uma aceleração angular constante de modulo 4 rad/s2.
a) Quanto tempo o disco leva para parar ?
b) Qual é o ângulo total descrito pelo disco durante esse tempo ?
θ = 1/2 (ω0 +ω) t
θ = 1/2 . (120 +0) . 30
θ = 1800 rad
9) A velocidade angular do motor de um automóvel é aumentada a uma taxa constante de 1200 rev/min para 3000 rev/min em 12 s.
a) Qual é a aceleração angular em revoluções por minuto ao quadrado ?
ω = ω0 + α . t
3000 = 1200 + α . (12 /60)
α = 9000 rev/ min2
ω = ω0 + α . t
3000 = 1200 + α . (12 /60)
α = 9000 rev/ min2
b) Qual é o angulo total descrito pelo disco durante esse tempo ?
ω2 = ω02 + 2 . α . Δθ
30002 = 12002 + 2 . 9000 . Δθ
Δθ = 420 rev
10) Uma roda executa 40 revoluções quando desacelera a partir de uma velocidade angular de 1,5 rad/s até parar.
a) Supondo que a aceleração angular é constante, determine o tempo em que a roda leva para para parar.
θ = 1/2 (ω0 + ω) t
40 = 1/2 ( 0,239) . t
t = 335 s
b) Qual é a aceleração angular da roda ?
θ = ω0 .t - 1/2 . α . t2
40 = 0 - 1/2 . α . 3352
α = 0,000712 rev/s2
11) Um disco gira em do eixo central partindo do repouso com aceleração angular constante. Em um certo instante, está girando a 10 rev/s; após 60 revoluções, a velocidade angular é 15 rev/s. Calcule :
a) a aceleração angular
α = (152 - 102 ) / (2 . 60)
α = 1,04 rev/s2
α = (152 - 102 ) / (2 . 60)
α = 1,04 rev/s2
b) o tempo necessário para completar 60 revoluções
Δt = 2 . 60 / (10 + 15)
Δt = 4,8 s
Δt = 2 . 60 / (10 + 15)
Δt = 4,8 s
c) o tempo necessário para atingir a velocidade angular de 10 rev/s
t = 10 / 1,04
t = 9,6 s
t = 10 / 1,04
t = 9,6 s
d) o numero de revoluções desde o repouso até o instante em que o disco atinge uma velocidade angular de 10 rev/s.
θ = 102 - 02 / (2 . 1,04)
θ = 48 rev
θ = 48 rev
12) Uma roda tem uma aceleração angular constante de 3 rad/s2 . Durante um certo intervalo de 4s, descreve um angulo de 120 rad. Supondo que a roda partiu do repouso, por quanto tempo já estava em movimento no inicio deste intervalo de 4s ?
t2 + t1 = (2 . 120) / ( 3 .4 )
t2 + t1 = 20 s
t2 = 12 s
t1 = 8s
θ1 = 1/2 . 3 . 8 = 96 rad
θ2 = 1/2 . 3 . 12 = 216 rad
13) Um carrossel gira a partir do repouso com uma aceleração angular de 1,5 rad/s2 . Quanto tempo leva para executar :
a) as primeiras 2 revoluções
θ - θ0 = ω02 . t + 1/2 . α .t2
2.3,14 . 2 = 0 . t + 1/2 . 1,5 . t2
t = 4,09 s
θ - θ0 = ω02 . t + 1/2 . α .t2
2.3,14 . 2 = 0 . t + 1/2 . 1,5 . t2
t = 4,09 s
b) as 2 revoluções seguintes
4 . 3,14 . 2 = 0 . t + 1/2 . 1,5 . t2
t = 5,78 s
t = 5,78 - 4,09
t = 1,7 s
14) Em t = 0, uma roda tem uma velocidade angular de 4,7 rad/s , uma aceleração angular constante de - 0,25 rad/s2 e uma reta de referencia em θ = 0.
a) Qual é o maior θmax descrito pela reta de referencia no sentido positivo ?
θ = (4,7)2 / (2 / - 0,25)
θ = 44 rad
15) Uma roda A de raio rA = 10 cm está acoplada por uma
correia B a uma roda C de raio rC = 25 cm. A velocidade
angular da roda A é aumentada, a partir do repouso, a uma
taxa constante de 1,6 rad/s2
. Determine o tempo
necessário para que a roda C atinja a velocidade angular
de 100 rev/s, supondo que a correia não deslize. (sugestão: se a correia não desliza, as velocidades
lineares das bordas das rodas são iguais).
αc = (ra / rc) . αc
αc = (10 / 25) . 1,6
αc = 0,64 rad/s2
t = ω / αc = 10,5 / 0,64
t = 16,4 s
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