Proporção

1- De cada 10 alunos de uma sala de aula, 6 são do sexo feminino. Sabendo que nesta sala de aula há 18 alunos do sexo feminino, quantos são do sexo masculino ?

Resolução:

6 / (10 - 6) = 18 / x

x = 12 alunos

2- Foram construídos 2 reservatórios de água, a razão entre os valores internos do 1° e do 2° é de 2 para 5, e a soma desses volumes é 14 m². Qual é a diferença entre as capacidades desses 2 reservatórios ?

Resolução:

1° --> 2x

2° --> 5x

2x + 5x = 14            2 . 2 = 4

x = 2                        5 . 2 = 10

10 - 4 = 6 m³

3- Manoel vendeu seu carro por 27.000 R$ e teve um prejuízo de 10% sobre o valor de custo do total do veículo, qual o valor do carro ?

Resolução:

100 - 10 = 90%

27.000 ---> 100%

x ----------> 90%

x = 30.000 R$

4- Em um mapa cuja escala era de 1:15104, a menor distância entre dois pontos A e B, medida com a régua, era de 12 cm. Isso significa em real é igual a ?

Resolução:

1 ---> 15104

12 --> x

1 / 15104 = 0,12 / x

x  = 1812,48 m

1) Uma pessoa compra um pote com ovinhos de chocolate e, ao fazer pacotinhos, todos com a mesma quantidade percebeu que colocando 8 ou 9 ou 12 ovinhos em cada pacotinho sempre sobrariam 3 ovinhos no pote. O menor número de ovinhos é: 

Resolução:

8, 9 , 12 | 2

4 , 9, 6  | 2

2 , 9 , 6 | 2

1, 9, 3 | 3

1 , 3, 1 | 3

1 , 1, 1

2² . 3² = 72 + 3 = 75 ovinhos

2) Na linha 1 de 1 sistema métrico os trem partem em 2,4 min. Na linha 2 desse mesmo sistema, os trens partem 1,8 min. Se 2 trens partem simultaneamente das linhas 1 e 2 às 13 horas próximo horário simultaneamente qual será o horário das duas linhas.

Resolução:

24, 18 | 2

12, 9 | 2

6 , 9 | 2

3 , 9 | 3

1 , 3 | 3

1 , 1

2² . 3² = 72 = 7,2 min

3) Quais os divisores comuns entre 90 e 216 ?

Resoluçãao:

MDC (216 , 90) = 18

4) Divibilidade por 90 = { 1, 2, 3, 5, 6, 9, 18 } = 5

Divisibilidade por 216 = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18} = 4

90 , 216 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }

5) Calcule o maior número pelo qual dividindo 100 e 68 encontramos restos 10 e 8.

Resolução:

100 | X        

10    q1

68 | X

 8    q2

q1 . X + 10 = 100

q1 . X = 90

q2 . X + 8 = 68

q2 . X = 60

90 , 60 | 30, 30

3 , 2

Portanto: MDC (90 , 60) = 30

6) Qual o menor número que dividindo 15 e 18 deixa sempre o resto 12 ?

Resolução:

15, 18 | 2

15,   9 | 3

5,     3| 3

5,     1| 5

1,    1

2 . 3² = 90            X = 90 + 12 = 102

7) A diferença de idade entre 2 pessoas é de 15 anos e estão entre si 7 para 4.

Resolução:

X - Y = 15         7/4       (X - 4 ) / Y            15 / Y = (7 - 4) / 4         Y = 20

X - 20 = 15        

X = 15 + 20 = 35

Matemática Discreta

1) Prove, por indução matemática as seguintes fórmulas.

h) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)

Solução :

a) p/ n=1

(2.1 -1)² = (1 . 1 . (2.1-1)(2.1+1))/ 3
1 = 1 Ok é valida

p/ n= k+1
2(k+1-1)² = (k+1)(2(k+1-1)) (2(k+1+1)) / 3
2(k+1-1)² = 1/3 k(2k-1) ( 2k+1) + (2k+1)²
(k+1)(2k+1)(2k+3) 1/3  = 1/3 (k+1) + (2k+1)(2k+3)

.
.
.
.

2) Mostre que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos é sempre divisível por 3 : SUGESTÃO : Considere a sentença aberta.

P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n = n³  + (n + 1)³  + (n + 2)³

Mostre por indução que a sentença é divisível por 3 para todo n natural.

Solução:
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n = n³  + (n + 1)³  + (n + 2)^{3
p/ n= k+1
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + k+1 = (k+1)3  + (k+1 + 1)3  + (k+1 + 2)3}
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + k+1 = (k+1)³  + (k+2)³  + (k+3)^{3
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + k+1 = k3  +  3k2}+ 3k +1 + ^{k3  +  6k2}+ 12k + 8 + ^{k3  +  9k2}+ 27k + 27
^{P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + k+1 = 3k3  +  18k2}+ 42k +36   

Logo é divisível por 3

3) Dada a sentença aberta em naturais.

Mostre que : Qualquer que seja n natural, se P(n) é verdadeira, então P(n+1) é verdadeira:

Resolução:

4) Sejam as proposições P: "Está chovendo", Q: "O sol está brilhando" e R: "Há nuvens no céu". Traduza as seguintes sentenças para a notação lógica.

a) "Choverá se o sol brilhar ou se o céu estiver com nuvens".

b) "Se está chovendo, então há nuvens no céu."

c) "O sol brilha quando e apenas quando o céu fica com nuvens."

Resolução:

a) (P --> Q) v R "Se chover o sol brilhará e o ceu está com nuvens"

b) ~ P <--> R "Não está chovendo, logo há nuvem no céu

c) ^ P < -- > R "O sol está brilhando, se somente se quando há nuvens no céu"



5) Utilizando o exercício anterior, determine os significados para as proposições.

a) (P ^Q) --> R

b) ~P <--> (Q v R)

c) ~(P v Q) ^ R

Resolução:

a) Se está chovendo ou o sol brilha, então há nuvens no céu

b) Não é verdade que está chovendo se somente se o sol brilhar, ou há nuvens no céu.

c) Não é verdade que está chovendo ou o sol brilha e há nuvens no céu


6) Sabendo que a proposição p é verdadeira encontre a tabela verdade da proposição abaixo:
(Q >-P) < - > (P^Q ) - > P -> Q)

Resolução: