Matemática Discreta

1) Prove, por indução matemática as seguintes fórmulas.

h) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)

Solução :

a) p/ n=1

(2.1 -1)² = (1 . 1 . (2.1-1)(2.1+1))/ 3
1 = 1 Ok é valida

p/ n= k+1
2(k+1-1)² = (k+1)(2(k+1-1)) (2(k+1+1)) / 3
2(k+1-1)² = 1/3 k(2k-1) ( 2k+1) + (2k+1)²
(k+1)(2k+1)(2k+3) 1/3  = 1/3 (k+1) + (2k+1)(2k+3)

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.
.
.

2) Mostre que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos é sempre divisível por 3 : SUGESTÃO : Considere a sentença aberta.

P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n = n³  + (n + 1)³  + (n + 2)³

Mostre por indução que a sentença é divisível por 3 para todo n natural.

Solução:
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n = n³  + (n + 1)³  + (n + 2)^{3
p/ n= k+1
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + k+1 = (k+1)3  + (k+1 + 1)3  + (k+1 + 2)3}
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + k+1 = (k+1)³  + (k+2)³  + (k+3)^{3
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + k+1 = k3  +  3k2}+ 3k +1 + ^{k3  +  6k2}+ 12k + 8 + ^{k3  +  9k2}+ 27k + 27
^{P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + k+1 = 3k3  +  18k2}+ 42k +36   

Logo é divisível por 3

3) Dada a sentença aberta em naturais.

Mostre que : Qualquer que seja n natural, se P(n) é verdadeira, então P(n+1) é verdadeira:

Resolução:

4) Sejam as proposições P: "Está chovendo", Q: "O sol está brilhando" e R: "Há nuvens no céu". Traduza as seguintes sentenças para a notação lógica.

a) "Choverá se o sol brilhar ou se o céu estiver com nuvens".

b) "Se está chovendo, então há nuvens no céu."

c) "O sol brilha quando e apenas quando o céu fica com nuvens."

Resolução:

a) (P --> Q) v R "Se chover o sol brilhará e o ceu está com nuvens"

b) ~ P <--> R "Não está chovendo, logo há nuvem no céu

c) ^ P < -- > R "O sol está brilhando, se somente se quando há nuvens no céu"



5) Utilizando o exercício anterior, determine os significados para as proposições.

a) (P ^Q) --> R

b) ~P <--> (Q v R)

c) ~(P v Q) ^ R

Resolução:

a) Se está chovendo ou o sol brilha, então há nuvens no céu

b) Não é verdade que está chovendo se somente se o sol brilhar, ou há nuvens no céu.

c) Não é verdade que está chovendo ou o sol brilha e há nuvens no céu


6) Sabendo que a proposição p é verdadeira encontre a tabela verdade da proposição abaixo:
(Q >-P) < - > (P^Q ) - > P -> Q)

Resolução: