VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA " Parábola "

RESOLUÇÃO DO LIVRO PAULO WINTERLE (Pag 172 , 173  Ex: 1 ao 26)

Para cada uma das parábolas dos problemas de 1 a 10, construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz.

1) x² = - 4y

x² = 2Py
2P = -4
P = -2

FOCO (0 , -2/2) = (0 , -1)
d: y = 1

2) y² = 6x

y² = 2Px
2P = 6x
2P = 6
P = 6/2
P = 3

F(3/2 , 0)
d: x = - 3/2

3) y² = - 8x

2P = -8
P = -8 /2
P = - 4

F(- 4/2 , 0) = (-2 , 0)

4) x² + y = 0

2P = -1
P = - 1/2

F(0 , -1/2 /2) = (0 , -1/4)
d: y = 1/4

5) y² -x = 0

2P = -1
P = -1/2

F(1/2/2 , 0) = (1/4 , 0)
d: x = -1/4

6) y² +3x = 0

2P = -3
P = -3/2

F(-3/2/2 , 0) = (-3/4 , 0)
d: x = 3/4

7) x² -10y = 0

2P = 10
P = 10/2
P = 5

F(0 , 5/2)
d: y = -5/2

8) 2y² - 9x = 0

2P = 9
P = 9/2

F(9/2/2 , 0) = (9/4 , 0)
d: x = -9/4

9) y = x² / 16

16y = x²
x² = 16y
2P = 16
P = 16/2
P = 8

F(0 ,8/2) = (0 , 4)
d: y = - 4

10) x = - y² / 8

8x = - y²

y² = -8x
2P = -8
P = - 4

F(-4/2 , 0) = (-2 , 0)
d: x = 2

Nos problemas de 11 a 36, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas.

11) vértice: V(0,0) ; diretriz d: y = -2
P/2 = -2
P = - 4
P = 4

F(0, 4/2) = (0 , 2)

x² = 2py
x² = 2 . (4) y
x² = 8y

12) foco: F(2,0) diretriz d: x +2 =0
d: x = -2

P/2 = 2
P = 4

y² = 2px
y² = 2 . 4. x
y² = 8x

13) Vértice: V(0,0) ; Foco F(0,-3)
d: x = 3
P/2 = -3
P= -6
P = 6

x²  = 2Py
x²  = 2(-6)y
x²  = - 12y

14) vértice : V(0 , 0) foco F(-1/2 , 0)
d: x = 1/2

P/2 = -1/2
P = -1

y²  = 2Px
y²  = 2(-1)x
y²  = -2x

15) foco : F(0 , -1/4) ; diretriz d: 4y -1 = 0
d: 4y = 1
d: y = 1/4

P/2 = 2/4
P= 1/2

x²  = 2Py
x²  = 2(-1/2)y
x²  = -y

16) vertice: V(0 , 0); simetria em relação ao eixo dos y e passa pelo ponto P(2 , -3)
x²  = 2Py
2²  = 2P. (-3)
4 = -6P
P = -4/6
P = -2 /3

F(0 , -2/3 /2) = (0 , -2/6) = (0 , -1/3)

x²  = 2Py
x²  = 2 (-2/3) y
x²  = - 4/3 y
3x²  = - 4y

17) vértice: V(0 , 0); eixo y = 0; passa por (4 , 5)
y²  = 2Px
5²  = 2 P4
25 = 8P
P = 25 /8

F(25/8/2 , 0) = (25/16 , 0)

d: x = - 25/8

18) vértice: V(-2 , 3); foco: F(5 , -1)

Parâmetro

P= 2
P/2 = 2
P = 4
P = - 4

d: y = 3 +2
d: y = 5

(X - h)²  = 2P (y - K)
(x - (-2))²  = 2(-4) (y - 3)
(x +2)²  = -8 (y - 3)
x² + 4 +4x = -8y + 24
x² +4x +8y = 20

19) vértice: V(2 , -1); foco F(5, -1)

P/2 = 3
P = 6

ou
P/2 = (5-2)
P= 6

d: x = 2-3
d: x = - 1

(Y - h)² = 2P (X- k)

(y - (-1))² = 2 (6) (x - 2)
y² + 1 + 2y = 12x - 24
y² + 2y - 12x =  - 25

20) vértice: V(4 , 1); diretriz d: y +3 = 0
d: y = - 3

P/2 = 4
P = 8

F= (4 ,  1 + 8/2) = (4 , 5)

ou
E=(4 , -3)

F=(4 , 4+1) = (4 , 5)

(X - h)²  = 2P (y - K)
(x - 4)² = 2(8) (y- 1)
x² + 16 - 8x = 16y - 16
x²  - 8x - 16y = - 32

21) vértice: V(0 , -2); diretriz d: 2x -3 = 0

d: 2x = 3
d: x = 3/2

E(3/2 , -2)

P/2 = 3/2
P= 6/2
P= 3

F(-3/2 , -2)

22) foco: F(4 , -5) diretriz d: y = 1

P= - 6

(x - h)² = 2P (y- k)
(x + 4)²  = 2(-6) (y - (-2))
x² + 16 - 8x = - 24 - 16
x² - 8x +12y = -40

23) foco: F(-7 , 3) diretriz d: x + 3 = 0

d: x = -3
A( 3 , -3)

P = - 4

(y - h)² = 2P (x- k)
(y -3)² = 2(-4) (x - (-5))
y² -3² - 2.3.y = -8 (x + 5)
y² + 9 - 6y = - 8x - 40
y²  - 6y + 8x = - 49

24) foco: F(3 , -1) diretriz d: 2x -1 = 0 

d: 2x = 1
d: x = 1/ 2

A(1/2 , -1)

(y - h)² = 2P (x- k)
(y - 1)² = 2(5/2) (x - 7/4)
y² + 1 +2y = 5x- 35/4 - 1
y² + 2y = 5x - 39 /4
4y²  + 8y = 5x - 39
4y² +   8y  - 5x = - 39

25) vértice: V(4 , -3); eixo paralelo ao eixo dos x, passando pelo ponto P(2 , 1)

d: x = 6

P = - 4

d: x = 4 + 2
d: x = 6

(y - h)² = 2P (x- k)
y² - (-3)² - 2.y. (-3) = 2(- 4) (x- 4)
y²  + 9 + 6y = -8x + 32
y²  + 6y + 8x = 23

26) vértice: V(-2 , 3); eixo: x + 2 = 0, passando pelo ponto P(2 , 0)

A(-2 , 13/3)

(x - h)² = 2P (y- k)
(x - (-2))² = 2(- 8/3) (y- 3)
x² + 4 + 4x = - 16 /3 (y - 3)
x² + 4x + 4 = - 16y /3 + 16
x² + 4x - 12  = - 16y /3
3x² + 12x - 36  = - 16y
3x² + 12x  + 16y - 36  = 0

Mecânica dos Fluidos (Exercício 2)

1) A figura mostra o corte transversal de uma comporta que apresenta massa igual a 363 Kg. Observe que a comporta é articulada e que está imobilizada por um cabo. O comprimento e a largura da placa são respectivamente igual a 1,2 m e 2,4. Sabendo que o atrito é desprezível, determine a tensão no cabo.

RESOLUÇÃO:

FR= γ  hc * A

hc= (1.8 / 2) sen 60° = 0,78 m

FR= 1026 * 0,78 * 1,8 * 1,2

FR= 17264 N

Eq. de equilibrio

T(2,4 sen 60°) = F1,2 cos 50°) + FR (0,6)

2) A barragem mostrada na figura é construída com concreto (γ = 23,6 KN/ m³ ) e está simplesmente apoiada numa fundação rígida. Determine qual é o mínimo coeficiente de atrito entre a barragem e a fundação para que a água não escorregue. Admita que a água não provoca qualquer efeito na superfície inferior da barragem e analise o problema por unidade comprimento da barragem.

RESOLUÇÃO:

FR= γ.  hc . A

Tg = 4/5 = 51,34°

A= 4 / sen 51,34°

A= 5,12 m

FR= 9,8 KN/m³ * 4/2 m * 5,12 m * 1m

FR= 100,35 KN

N= (23,6 KN/m³ . 20 m³ ) + 100,35 KN. cos 51,3°

N= 534,52 KN

N= (FR sen 51,3°) / N

N= (100,35 kN .sen 51,3°) / 534,52 KN

N= 0,146 //

3)O dique mostrado na figura é construído com concreto ( 23,6 KN/m³ ) e é utilizado para reter um braço do mar que apresenta profundidade igual a 7,3m . Determine o momento da força com que o fluído atua na superfície molhada do dique em relação ao eixo horizontal que para pelo ponto A.

RESOLUÇÃO:

P= F /A

F= P * A

F= ρ .g . h/2 . A

F= 1025 Kg/ m³ . 9,8 . 7,3m / 2 . (7,3m . 1m)

F= 267649 KN

Linhas de aço

yp= 1/3 . h = 1/3 . 7,3m= 2,433 m

W= m.g

W= ρ. g. V= ρ . g . A . Δx

Intersecção:

0,2x² = 7,3

x= 6,0415

Área

W= 1025 Kg/m³  . 9,8 . 29,4m² . 1m

W=295323 KN

Centro de gravidade

7,3 / 3 = 2,43m

Ma = F. Yρ - W (4,6 - 2,24)

Ma = 267649 KN . 2,43m - 295325 KN. (4,6 - 2,25 m)
Ma = 650387,04 KN.m - (1358495 - 664481,25) KN.m

Ma= 650387,04 KN.m - 694013,75 KN.m
Ma = - 43626,71 KN.m