VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA

1) Determine o ângulo entre as seguintes retas:

RESOLUÇÃO:
V1= (-2, -1, 2)
V2=(2, -3, 4)

|V1.V2|= -4 + 3 +8= 7
|V1|= 4 + 1 + 4= √9 = 3
|V2|= 4 + 9 + 16= √29

2) Determine uma equação do:

a) Plano π1 que é paralelo a π: 5x + 3y -2z + 4= 0 e que contém o ponto A(-4, 3, 2).

b) Plano π2 que é perpendicular à reta e que contém o ponto A(1, 2, -5)

RESOLUÇÃO:

a) 5x + 3y + 2z + 4=0

5 (-4) + 3(3) + 2(2) +d =0

d= 15 

5x +3y -2z + 15= 0

b)

-3x + 2t - 3z +d = 0

-3(1) + 2(2) - 3(-5) +d = 0

d= -16

3) Determine o ponto de intersecção da reta r com o plano π.

RESOLUÇÃO:

4(-1 +3t) +3 (4) -3(2t +2) -7= 0

-4 +12t +12 -6t -6 -7= 0

6t -5=0

t= 5/6

X= -1+3 (5/6)

X= 3/2

Y= 4

Z= 2+2(5/6)

Z= 11/3

P(3/2 ; 4 ; 11/3)

4) A reta que passa pelos pontos A(-2 , 3 , 1) e B(1, 5 , 2) é paralela a reta determinada por C(3, -1, -2) e D(2, m, n). Determine o ponto D.

RESOLUÇÃO:

AB= B-A=(3, 2 ,1)

CD= D-C=( -1, m+1, n+2)

(AB /CD)= (3/-1 ; 2/m+1 ; 1/n+2)

3/-1 = 2/m+1

3m + 3= -2

m= -5/2

3/-1 = 1/n+2

3n + 6= -1

n= -7/3

5) Dados os pontos A(-1, 2) , B(3, -1) e C(-2, 4), determine o ponto D de modo que CD = 1/2 AB.

RESOLUÇÃO

CD = D-C= (a+2 , b - 4)

AB= B-A=( 4, -3)

a +2 = 2

a= 0

b - 4= -3/2

b = -3/2 + 4

b = 5/2

D= (0 ; 5/2)

6) Seja o triangulo de vértices A(4, -1, -2) B(2, 5, -6) e C(1, -1, -2). Calcular o comprimento da mediana do triangulo relativa ao lado AB.

RESOLUÇÃO

M = (A+B) /2

M = (3, 2 , -4)

CM= M-C

CM = (2, 3 , -2)

|CM| = √17

7) Obter o ponto de abscissa 1 da reta r: (2x + 1) /3 = (3y -2)/ 2 = z + 4 e encontrar um vetor diretor de r que tenha ordenada 2.

-1 + 3t = 2

t= 1

y= 2/3 + 2/3

y= 4/3

z= -3

P= (1, 4/3, -3)

em r o vetor é v=(3/2 , 2/3 , 1)

U= (m, 2 , n)

(m*2) / 3 = (2*3) /2 = n / 1

4m / 3 = 6 /2

m= 18/4

m= 9/2

2= 2n / 3

6= 2n

n= 3

logo:

n= (9/2, 2, 3)

8) Determinar o vetor X na igualdade 3X + 2u = 1/2 V + X, sendo u = (3, -1) e v= (-2, 4).

RESOLUÇÃO

3x + 2u = 1/2 V + x

2x = 1/2 V - 2u

2u= (6, -2)

1/2V = (-1, 2)

(2x ; 2y) = (-1, 2) - (6, -2)

(2x ; 2y) = (-7, 4)

2x = -7

x= -7/2

2y = 4

y = 2

X= (-7/2 , 2)

Resistência dos Materiais "4-48 , 4-63

4-48) Os três A-36 arames de aço, cada um tem um diâmetro de 2 mm e comprimentos descarregadas de LAC = 1,60 m e LAB = LAD = 2,00 m. Determine a força em cada fio após a missa de 150 kg é suspenso a partir do anel em A.

4-63) A barra rígida é suportado pelos dois abeto branco postes de madeira curtas e uma mola. Se cada um dos postos tem um comprimento sem carga de 1 m e uma área da secção transversal de 600 mm², e a mola tem uma rigidez de k = 2 MN/m e um comprimento de 1,02 m não esticada, determine a força em cada posto depois que a carga é aplicada à barra.

ΔL = L − L0
ΔL = 1,02 m - 1m
ΔL = 0,02 m

 δk = δA + ΔL

ΣΜC = 0
- Fa  . 2 + Fb . 2 = 0
Fb = Fa

ΣFx = 0

Fa + Fb + F - w . 2 = 0
2 . Fa + F - 50 . 2 = 0

Resistência dos Materiais "4-4 , 4-5 , 4-6 , 4-7 , 4-10 , 4-14"

4-4) O eixo de cobre é sujeito a cargas axiais mostrados. Determine o deslocamento da extremidade A com relação à extremidade D. Os diâmetros de cada segmento são DAB = 20 mm, DBC = 25 mm, e DCD = 12 mm. Tome Ecu = 126 GPa.

Aab = π . 10²
Aab = 314,16 mm²

Abc =  π . 12,25²
Abc = 490,87 mm²

Acd = π . 6²
Acd = 113,1 mm²

4- 5) A barra de aço A-36 é submetido à carga imediata. Se a área da secção transversal da haste é de 60 mm², Determine o deslocamento de B e A. Negligencie o tamanho dos acoplamentos em B, C, e D.

δB = 1,3 + 1,0072 mm
δB = 2,3072 mm

δA = (0,3333 + 1,3 + 1,0072) mm
δA = 2,6405 mm

4-6) O conjunto é constituído por uma haste de CB A-36 de aço e uma 6061-T6 de alumínio BA haste, tendo um diâmetro de 25 mm. Determine as cargas aplicadas P1 e P2, se A é deslocado de 2 mm a direita e B é deslocada 0,5 milímetros para a esquerda quando as cargas são aplicadas. O comprimento de cada segmento não esticada é mostrado na figura. A negligência do tamanho das ligações em B e C, e assuma que são rígidos.

δA = 2mm
δB = 0.5mm
ECB = 200 GPa
EBA = 68,9 GPa

A= π . 12,5² mm
A= 490,87 mm²

4-7) O eixo de 15 mm de diâmetro de aço A-36 AC é suportado por um colar rígido, o qual é fixo ao veio em B. Se ele é submetido a uma carga axial de 80 kN, na sua extremidade, determinar a distribuição uniforme da pressão P na gola necessário para o equilíbrio. Qual é o alongamento do do segmento BC e segmento BA?

Acolar = (π .  (2.35)² - 15²) ) / 4 mm
A= (π . 70² - 15²)  /4 mm
A= 3671,74 mm²

ΣFy = 0

3671,74 . F - 80 = 0
F= 21,79 MPa

Força interna

A= π . 7,5² mm
A= 176,71 mm²

4-10) A barra tem uma área de secção transversal de 1800 mm², e E = 250 GPa. Determine o deslocamento da sua haste quando ela é submetido à carga distribuída.

 4-14) Um cabide tubo apoiado por mola é composto por duas molas, que são originalmente não esticada e ter um rigidez de k = 60 kN / m, três hastes de aço inoxidável 304, AB e CD, que têm um diâmetro de 5 mm, e EF, que tem um diâmetro de 12 mm, e um feixe de GH rígida. Se o tubo é deslocado 82 milímetros quando se é enchido com fluido, determinar o peso do fluido.

ΣΜA=0

- 1 . 0,25 + Fcd . 0,25 + 0,25 = 0
Fcd = 0,25 / 0,5
Fcd = 0,5 KN

ΣFy = 0

Fab + 0,5 - 1 = 0
Fab = 0,5 KN

ΣFy = 0

Fef . - 0,5 + 0,5 = 0
Fef = 1 KN

Aab = π . 2,5² mm

Aab = 19,635 mm²

Acd = π . 2,5² mm
Acd = 19,635 mm²

Aef =  π . 6² mm
Aef = 113,1 mm²

δt = (8,3677 + 0,09896) mm
δt = 8,4666 mm

Resistência dos Materiais "3-26 , 3-31 , 3-32, 3-33 , 3-44 , 4-1 , 4-2"

3-26) A vareta de plástico acrílico é de 200 mm de comprimento e 15 mm de diâmetro. Se uma carga axial de 300 N é aplicado a ele, determinar a mudança no seu comprimento e a sua mudança de diâmetro. Ep = 2,70 GPa, νp = 0,4.

A= π . 7,5² mm 

A = 176,71 mm²

σ = F / A

σ = 300 N / 176,71 mm²

σ = 1,7 MPa

3-31) O diagrama de tensão-deformação de corte para uma liga de aço é mostrado na figura. Se um parafuso com um diâmetro de 6 mm é feito deste material e utilizados na junta sobreposta, determinar o módulo de elasticidade E e a força P necessária para fazer com que o material a produzir. Tome ν = 0,3.

MÓDULO DE RIGIDEZ

MÓDULO DE ELASTICIDADE

Tensão

A = .π . 3² mm

A = 28,27 mm²

T = F / A
F = T . A
F = 350 N/mm² . 28,27 mm²

F = 9894,5 N
F = 10 KN //

3-32) As pastilhas de freio para um pneu de bicicleta são feitos de borracha. De uma força de atrito de 50 N é aplicado a cada lateral dos pneus, determinar a tensão de cisalhamento média na borracha. Cada almofada tem transversal dimensões de 20 mm e 50 milímetros. Gr = 0,20 MPa.

A = 20 . 50
A = 1000 mm²

3-33) A ficha tem um diâmetro de 30 mm e se encaixa dentro de uma manga rígida tendo um diâmetro interno de 32 mm.Tanto a ficha e a manga são 50 mm de comprimento. Determinar a pressão axial P que deve ser aplicada a parte superior do obturador para fazer com que ele entre em contato com os lados da manga. Além disso, até onde deve ser o plugue comprimido para baixo, a fim de fazer isso? O tampão é feito de um material para o qual E = 5 MPa, ν= 0,45.

ε = (32 - 30) mm / 30 mm
ε = 0,0666 mm/mm

v = - ε lat / ε long

- 0,45 = 0,0666 / εlong
εlong = - 0,1481 mm / mm

E= σ / ε
σ = E . ε
σ = 5 N/mm² . 0,01481
σ = - 0,741 MPa

δL= εlong . L
δL= - 0,1481 . 50 mm
δL= - 7,405 mm

3-44) Uma vara de latão Ebr de 8 mm de diâmetro, tem um módulo de elasticidade de 100 GPa . Se ele é de 3 m de comprimento e submetidos a uma carga axial de 2 kN, determinar o seu alongamento. Qual é o seu alongamento sob a mesma carga se o seu diâmetro é de 6 mm?

A1= π .4² mm

A1 = 50,26 mm²

A2= π .3² mm

A2= 28,27 mm²

σ1 = 2000 N / 50,26 mm²
σ1 = 39,7887 MPa

ε1=  σ1 / E
ε1= 39,7887 MPa / 100000 MPa
ε1= 0,0003979 mm / mm

δ1 = ε1 . L
δ1 = 0,0003979 . 3000 mm
δ1 = 1,1934 mm

σ2 = 2000 N / 28,27 mm²
σ2 = 70,73 MPa

ε2= σ2 / E
ε2= 70,73 MPa / 100000 MPa
ε2= 0,0007073 mm/mm

δ2= 0,0007073 . 3000 mm
δ2 = 2,122 mm

4-1) O navio é empurrado através da água utilizando um A-36 de aço do eixo da hélice, que é de 8 m de comprimento, medido a partir da hélice, para o rolamento de impulso D no motor. Se ele tem um diâmetro exterior de 400 mm e uma espessura de parede de 50 mm, determinar a quantidade de contração axial do eixo quando a hélice exerce uma força sobre o eixo de 5 kN. Os rolamentos do B e C são os rolamentos de jornal.

A=( π . (400² - (400 - 2. 50)² ) / 4mm
A = (π . (400² - 300²) ) / 4

A = 54977,87 mm²

4-2) A coluna de aço A-36 é usado para suportar as cargas simétricas dos dois pisos de um edifício. Determine as cargas P1 e P2 se A se move para baixo a 3 mm e B se move para baixo 2,25 milímetros quando as cargas são aplicadas. A coluna tem uma área em corte transversal de 14.625 mm².

δA = δAB + δBC
δA = -0,4923mm - 1,2553 mm
δA = - 1,7477 mm

Resistência dos Materiais "3-16 , 3-17 , 3-22 , 3-23 , 3-25"

3-16) O poste é suportado por um pino em C e um A-36 de aço cara fio AB. Se o fio tem um diâmetro de 5 mm, determinar o quanto ela se estende quando uma força horizontal de 15 kN atua no pólo.

ΣΜB = 0

Rc . 2,2m + 15 . 1m = 0
Rc = - 6,82 KN

ΣFx=0

- 6,82 + 15 + Rb = 0
Rb = - 8,18 KN

Fab . sen 30° + 8,18 = 0
Fab = - 8,18 / sen 30°
Fab = 16,36 KN

Lab . cos 30° - 1,2 - 1 = 0
Lab = 2,2 / cos 30°
Lab = 2,54 KN

σ = F/ A
σab = 16,36 KN / π . 2,5² mm
σab = 0,83321 KN/ mm²  . 10³

σab = 833,21 MPa

ε = σ / E
ε = 833,21 MPa / 200000 MPa
ε = 0,004167 mm/mm

δab= ε . L
δab = 0,004167 . 2200 mm
δab = 9.18 mm

3-17) Pela adição de plastificante para o cloreto de polivinilo, é possível reduzir a sua rigidez. A tensão-diagramas de três tipos de materiais que apresentem este este efeito são dadas abaixo. Especifique o tipo que deve ser usado na fabricação de uma barra com um comprimento de 125 mm e um diâmetro de 50 mm, que é necessário para suportar, pelo menos, uma carga axial de 100 KN, e ser capaz de esticar no máximo 6 mm.

polymer = polímero
flexible = flexível
plasticized = plastificado

3-22) O diagrama de tensão-deformação de uma resina de poliéster é dado na figura. Se a travessa rígida é suportado por uma escorara AB e CD feitas a partir deste material, determine a maior carga P que podem ser aplicados para o feixe antes dele se romper. O diâmetro do suporte é de 12 mm e o diâmetro do pino é de 40 mm.

Aab= π . 6² mm
Aab = 113,09 mm²

Acd = π . 20²mm

Acd = 1256,63 mm²

TENSÃO DE RUPTURA em AB

σr = 50 MPa

σ = F / A
F = σ . A
F = 50 N/mm² . 113,09 mm². 2

F = 11309 N

TENSÃO DE RUPTURA em CD

σr = 95 MPa

F =  95 N/mm² . 1256,63 mm² . 2

F = 238,76 KN

3-23) O feixe é suportado por um pino em C e um A-36 de aço cara fio AB. Se o fio tem um diâmetro de 5 mm, determinar o quanto ela se estende quando uma carga distribuída de w = 1,5 kN/m atua sobre o tubo.

∑Mc = 0
Fab * sen 30° * 3 - 1,5 * 3 * 1,5 = 0
Fab = 6,75 / (3* sen 30°)
Fab = 4,5 KN

Aab = 2,5² * π
Aab = 19,635 mm²

σab = 4,5 KN / 19,635 mm²

σab = 0,22918258 KN / mm² 

σab = 229,18 MPa

εab = σ / E

εab = 229,18 MPa / 200000 MPa
εab = 0,0011459 mm / mm

δab =  εab * Lab

δab = 0,0011459 * (3000 mm / cos 30°)
δab = 3,9695 mm

3-25) Indicadores de tensão diretos às vezes são usados em vez de chaves de torque para garantir que um parafuso tem uma tensão prescrita quando usado para conexões. Se uma porca sobre o parafuso é apertada, de modo que as cabeças de seis o indicador que eram originalmente de 3 mm são esmagados 0,3 mm, deixando uma área de contato em cada cabeça de 1,5 mm², determinar a tensão na haste do parafuso. O material tem o diagrama tensão -deformação como mostrado.

ε = δ / h

ε = 0,3 mm / 3 mm
ε = 0,1 mm / mm

σ = F / A
499,5 N / mm² = F * 1,5 mm² 

F = 749,25 N

N° de parafuso = 6

Tensão no parafuso

T = P . N°
T = 749,25 N . 6
T = 4,5 KN