RESOLUÇÃO:
V1= (-2, -1, 2)
V2=(2, -3, 4)
|V1.V2|= -4 + 3 +8= 7
|V1|= 4 + 1 + 4= √9 = 3
|V2|= 4 + 9 + 16= √29
2) Determine uma equação do:
a) Plano π1 que é paralelo a π: 5x + 3y -2z + 4= 0 e que contém o ponto A(-4, 3, 2).
b) Plano π2 que é perpendicular à reta e que contém o ponto A(1, 2, -5)
RESOLUÇÃO:
a) 5x + 3y + 2z + 4=0
5 (-4) + 3(3) + 2(2) +d =0
d= 15
5x +3y -2z + 15= 0
b)
-3x + 2t - 3z +d = 0
-3(1) + 2(2) - 3(-5) +d = 0
d= -16
3) Determine o ponto de intersecção da reta r com o plano π.
RESOLUÇÃO:
4(-1 +3t) +3 (4) -3(2t +2) -7= 0
-4 +12t +12 -6t -6 -7= 0
6t -5=0
t= 5/6
X= -1+3 (5/6)
X= 3/2
Y= 4
Z= 2+2(5/6)
Z= 11/3
P(3/2 ; 4 ; 11/3)
4) A reta que passa pelos pontos A(-2 , 3 , 1) e B(1, 5 , 2) é paralela a reta determinada por C(3, -1, -2) e D(2, m, n). Determine o ponto D.
RESOLUÇÃO:
AB= B-A=(3, 2 ,1)
CD= D-C=( -1, m+1, n+2)
(AB /CD)= (3/-1 ; 2/m+1 ; 1/n+2)
3/-1 = 2/m+1
3m + 3= -2
m= -5/2
3/-1 = 1/n+2
3n + 6= -1
n= -7/3
5) Dados os pontos A(-1, 2) , B(3, -1) e C(-2, 4), determine o ponto D de modo que CD = 1/2 AB.
RESOLUÇÃO
CD = D-C= (a+2 , b - 4)
AB= B-A=( 4, -3)
a +2 = 2
a= 0
b - 4= -3/2
b = -3/2 + 4
b = 5/2
D= (0 ; 5/2)
6) Seja o triangulo de vértices A(4, -1, -2) B(2, 5, -6) e C(1, -1, -2). Calcular o comprimento da mediana do triangulo relativa ao lado AB.
RESOLUÇÃO
M = (A+B) /2
M = (3, 2 , -4)
CM= M-C
CM = (2, 3 , -2)
|CM| = √17
7) Obter o ponto de abscissa 1 da reta r: (2x + 1) /3 = (3y -2)/ 2 = z + 4 e encontrar um vetor diretor de r que tenha ordenada 2.
-1 + 3t = 2
t= 1
y= 2/3 + 2/3
y= 4/3
z= -3
P= (1, 4/3, -3)
em r o vetor é v=(3/2 , 2/3 , 1)
U= (m, 2 , n)
(m*2) / 3 = (2*3) /2 = n / 1
4m / 3 = 6 /2
m= 18/4
m= 9/2
2= 2n / 3
6= 2n
n= 3
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n= (9/2, 2, 3)
8) Determinar o vetor X na igualdade 3X + 2u = 1/2 V + X, sendo u = (3, -1) e v= (-2, 4).
RESOLUÇÃO
3x + 2u = 1/2 V + x
2x = 1/2 V - 2u
2u= (6, -2)
1/2V = (-1, 2)
(2x ; 2y) = (-1, 2) - (6, -2)
(2x ; 2y) = (-7, 4)
2x = -7
x= -7/2
2y = 4
y = 2
X= (-7/2 , 2)
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