VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA

1) Determine o ângulo entre as seguintes retas:

RESOLUÇÃO:
V1= (-2, -1, 2)
V2=(2, -3, 4)

|V1.V2|= -4 + 3 +8= 7
|V1|= 4 + 1 + 4= √9 = 3
|V2|= 4 + 9 + 16= √29

2) Determine uma equação do:

a) Plano π1 que é paralelo a π: 5x + 3y -2z + 4= 0 e que contém o ponto A(-4, 3, 2).

b) Plano π2 que é perpendicular à reta e que contém o ponto A(1, 2, -5)

RESOLUÇÃO:

a) 5x + 3y + 2z + 4=0

5 (-4) + 3(3) + 2(2) +d =0

d= 15 

5x +3y -2z + 15= 0

b)

-3x + 2t - 3z +d = 0

-3(1) + 2(2) - 3(-5) +d = 0

d= -16

3) Determine o ponto de intersecção da reta r com o plano π.

RESOLUÇÃO:

4(-1 +3t) +3 (4) -3(2t +2) -7= 0

-4 +12t +12 -6t -6 -7= 0

6t -5=0

t= 5/6

X= -1+3 (5/6)

X= 3/2

Y= 4

Z= 2+2(5/6)

Z= 11/3

P(3/2 ; 4 ; 11/3)

4) A reta que passa pelos pontos A(-2 , 3 , 1) e B(1, 5 , 2) é paralela a reta determinada por C(3, -1, -2) e D(2, m, n). Determine o ponto D.

RESOLUÇÃO:

AB= B-A=(3, 2 ,1)

CD= D-C=( -1, m+1, n+2)

(AB /CD)= (3/-1 ; 2/m+1 ; 1/n+2)

3/-1 = 2/m+1

3m + 3= -2

m= -5/2

3/-1 = 1/n+2

3n + 6= -1

n= -7/3

5) Dados os pontos A(-1, 2) , B(3, -1) e C(-2, 4), determine o ponto D de modo que CD = 1/2 AB.

RESOLUÇÃO

CD = D-C= (a+2 , b - 4)

AB= B-A=( 4, -3)

a +2 = 2

a= 0

b - 4= -3/2

b = -3/2 + 4

b = 5/2

D= (0 ; 5/2)

6) Seja o triangulo de vértices A(4, -1, -2) B(2, 5, -6) e C(1, -1, -2). Calcular o comprimento da mediana do triangulo relativa ao lado AB.

RESOLUÇÃO

M = (A+B) /2

M = (3, 2 , -4)

CM= M-C

CM = (2, 3 , -2)

|CM| = √17

7) Obter o ponto de abscissa 1 da reta r: (2x + 1) /3 = (3y -2)/ 2 = z + 4 e encontrar um vetor diretor de r que tenha ordenada 2.

-1 + 3t = 2

t= 1

y= 2/3 + 2/3

y= 4/3

z= -3

P= (1, 4/3, -3)

em r o vetor é v=(3/2 , 2/3 , 1)

U= (m, 2 , n)

(m*2) / 3 = (2*3) /2 = n / 1

4m / 3 = 6 /2

m= 18/4

m= 9/2

2= 2n / 3

6= 2n

n= 3

logo:

n= (9/2, 2, 3)

8) Determinar o vetor X na igualdade 3X + 2u = 1/2 V + X, sendo u = (3, -1) e v= (-2, 4).

RESOLUÇÃO

3x + 2u = 1/2 V + x

2x = 1/2 V - 2u

2u= (6, -2)

1/2V = (-1, 2)

(2x ; 2y) = (-1, 2) - (6, -2)

(2x ; 2y) = (-7, 4)

2x = -7

x= -7/2

2y = 4

y = 2

X= (-7/2 , 2)

Geometria Analítica (exercícios)

Dados os vetores U= (1, a, -2a-1) V= (a, a-1, 1) e W= (a, -1, 1) determine a de modo que U.V= (U + V). W

Solução: U.V = (a, a² - a, - 2a-1) = a² - 2a-1
(U + V) . W = (U . W) + (V. W)   seguindo as propriedades

U.V = (a, - a, - 2a-1) = -2a-1
V.W = (a², -a+1, 1

U + V= -2a -1 + a² -a +2
U + V= -3a + 1 + a²

U.V= (U + V) .W
a² - 2a -1= -3a +1 + a²
a² -a² - 2a + 3a= 1 + 1
a = 2//

Geometria Analítica (Exercício)

Qual deve ver o o valor de m para que os vetores U = (2, m, 0), V = (1, -1 , 2), e W = (-1, 3, -1) sejam coplanares ?


Solução:


2 m 0
1 -1 2         = 12 + m +2 + 2m = 14 + 3m = 0
-1 3 -1

3m = -14
m = -14 / 3

a = - 4ac + 14c = 0
a = 4c = -14c
a = -14 + 4
a = -10 //

GEOMETRIA ANALÍTICA

EXERCICIOS DE VETORES

1) Determinar a, de modo que o ângulo A do triangulo ABC, seja 60°. Dados A(1,0,2) B(3,1,3) e C(a+1,-2,3)

Resolução:

AB= B-A= (2,1,1)
AC= C-A= (A,-2,1)

<AB, AC> = (2,1,1) . (a,-2,1) = 2a, -2, +1
<AB, AC> = 2a-1

2) Sejam os vetores a= (1,-m,-3)  b= (m+3,4-m,1) e   c= m,-2,7) determine m para que   a.b= (a+b) . c

Resolução:

a= (1,m,-3)

b= (m+3,4-m,1)

c= (m,-2,7)

a.b = (a+b).c

a.b = 

a.b=//

a+b = (1, -m, -3)+(m+3, 4-m,1)

a+b =  (m + 4,4 -2m, -2) . (m-2, 7)

(a + b).c  = m² + 4m -8+ 4m -14   

        = -3m+ m² = m² + 8m -22

        = -3m - 8m = -22

        = -11m = -22

   m = -22 / -11

   m= 2 //

6) O vetor U= (-1,-1,-2) e V= (2,-3,4) calcular:

a) A área do paralelogramo determinado por U e V

b) A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor U

Resolução:

A= |U x V| =   i   j  k

                      1 -1 1      Determinante= -i -2j - k

                      2 -3 4

b)

A= b . h

A= raiz de 6

b= raiz de 3

h= ?

10) Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A= (1,3,1)  B=(0,-2,4) C= (2,1,-3)  e D= (0,-6,0).

Resolução:

 AB= B-A= (-1,-5,3)

AC= C-A= (1-2,-4)

AD= D-A= (-1,-9,-1)

-1 -5  3

 1 -2 -4

-1 -9 -1

Determinante = -24 = 24

Volume = Ab . h / 2

V = (1/6) . 24 

V= 4u

h= ?

v= 4

Ab= raiz de 726

GEOMETRIA ANALÍTICA / Ângulo entre vetores

1) Determine o ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas conforme a figura.

Solução:

U= (1,0,0)

V=(1,1,1)

<U,V> = (1.1 + 0.1+ 0.1)

<U,V) = 1

U== 1

V=

arc cos θ

2) Dado o tetraedro de arestas OA, OB e OC, conforme a figura abaixo, sabemos que: OA = (x, 3,4)  OB= (0,4,2) e OC= (1,3,2). calcule o valor de x para que o volume desse tetraedro seja igual a 6 u.v

sabemos que o volume Vt do tetraedro é dado por:

Vt = 1/6 ||<OA X OB, OC>||

Solução:

Vt = 1/6 ||<OA X OB, OC>||

                |x 3 4|

Vt = 1/6 . |0 4 2|         D= 2x - 10

                |1 3 2|

Vt = 1/6 <2x - 10>

6 = 1/2 + (2x - 10)

12 = 2x - 10

12 + 10 = 2x

x = 22 / 2

x = 11