Mecânica aplicada (Exercício 7)

1) Determine a intensidade da força resultante que atua sobre a argola e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x.

Resolução:

F1= -2 * cos 45° î ;  2 * sen 45° j
F1= - 1,41 î  ; 1,41 j

F2= 6 * cos 60° i  ; 6 * sen 60° j
F2= 3 î ; 5,20 j

FR= 1, 59 î ; 6, 61 j
|FR| = 6,87 KN

Tg θ = 6,61 / -1,59
Tg θ = 76,51° no sentido horário

θ = 180° - 76,51°= 103,49°

2) Duas forças atuam sobre o gancho. Determine a intensidade força resultante.


Resolução:

F1= 200 * cos 30° i - 200* sen 30° j
F1= 173,21 i  - 100 j

F2= 500 * cos 40° i  - 500 * sen 40° j
F2= 171,01 i  -   469,85 j

FR = 344,22 i  - 569,85 j
|FR| = 665,74 N


3) Decomponha a força de 300 N nas componentes ao longo dos eixos u e v, e determine a intensidade de cada uma dessas componentes.

Resolução:

U= 300 * cos 30° + 300 * sen 30°j
U= 259,81 i  + 150 j

90° + 30° = 105°
30° + 15° = 45°

F= 219,61 N

4) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condição de equilíbrio do ponto material.

Resolução:
  X                            Y                              Z

F1 * cos 30°             0                            F1* sen 60°

F2   f2* -3/ 5            -f2 4/5                       0

F3  -f3 *cos 60°       -f3* sen 60°               0

F4    0                      800* sen 30°          -800 * cos 30°


X= F1* (cos 30°)   + (- F2 * 3/5)    +  (-F3 * cos 30°) +  0

Y= 0 + F2 4/5  + ( -F3 * sen 60°)  + (800 * sen 30°)

Z=  F1 * sen 60°  +  0 + 0 (-800 * cos 30°)


F1* 0,866 + 0 - 692,82
F1= 692,82 / 0,866
F1= 800 N

X -> 400 - F2 * 3/5  - F3 * cos 30° = F3
        461,88 -0,69 * F2 = F3


F2 * 4/5 + sen 30° (461,88 - 0,69 * F2) + 400= 0

F2 * 4/5 + 230,94 + 0,35 * F2 + 400 = 0

F2 * 4/5 + 0,345 * F2 = -169,06

F2 * 1,145 = -169,06

F2= - 169,06 / 1,145

F2= -147,65 N //


- 147,65 * 4/5 - F3 * sen 30° + 400

-118,12 + 400 = F3 * sen 30°

281,88 / sen 30° = F3

F3= 563,76 N //
   

Mecânica aplicada (exercício 5)

1) Os cabos de tração são usados para suportar o posto de telefone. Represente a força em cada cabo como um vetor cartesiano.

Resolução:

A= (0, 0, 4)
B= (0, 0, 5.5)
C= (-1, 4, 0)
D= (2, -3, 0)

FA= 250 N
FB= 175 N

AC= C-A= (-1, 4, -4)
|AC|= -1 + 4 + (-4)
AC= 5.74 m

INTENSIDADE DE AC

FRAC= 250 *(-1 / 5.74)i ; 250* (4 / 5.74)j ; 250* (-4 / 5.74)k
FRAC = -43.52i ; 174.08j ; -174.08k //

BD= D-B= (2, -3, -5.5)
|BD|= 2 + (-3) + (-5.5)
BD= 6.58 m

INTENSIDADE DE BD:

FRBD = 175* (2 / 6.58)i ; 175* (-3 / 6.58)j ; 175* (-5.5 / 6.58)k
FRBD = 53.22i ; -79.83j ; -146.36k //




2) A torre é mantida reta pelos três cabos. Se a força em cada cabo que atua sobre a torre for aquela mostrada na figura. Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante. Considere x= 20m e y= 15m

Resolução:

A= (20, 15, 0)
B= (-6, 4, 0)
C= (16, -18, 0)
D= (0, 0, 24)

DA= A-D= (20, 15, -24)
|DA| = 34.66 N

FRDA= 400* (20/ 34.66)i ; 600* (15/ 34.66)j ; 600* (-24/ 34.66)k
FRDA= 230,84i ; 173,13j ; -277,01k


Ângulos diretores de DA

DB= B-D= (-6, 4, -24)
|DB|= 25.06 N

Intensidade de DB

FRDB= 800* (-6/ 25.06)i ; 800* (4/ 25,06)j ; 800* (-4/ 25,06)k
FRDB= -191,54 i ; 127,69 j ; -766,16 k


Ângulos diretores de DB

DC= C-D= (16, -18, -24)
|DC|= 34 N

Intensidade de DC

FRDC= 600* (16/ 34) i ; 600* (-18/ 34) j ; 600* (-24/ 34) k
FRDC= 282,35 i ; -317,65 j ; -423,53 k

Ângulos diretores de DC

INTENSIDADE DE DA + DB + DC

FR= 321,66 i ; -16,82 j ; -1466,71 k

|FR|= 1501,66 N

ÂNGULOS DIRETORES DA FR

3) Determine os componentes de F paralelo e perpendicular à barra AC. O ponto B está no ponto médio de AC.

Resolução:

A= (0, 0, 4)
B= ?                        B= (C+A) / 2 = (-1.5, 2, 2)
C= (-3, 4, 0)
D= (4, 6, 0)

AC= C-A= (-3, 4, -4)
|AC|= 6.4 m

BD= D-B= (5.5, 4, -2)
|BD|= 7.08 m

Componentes da FRBD

FRBD= 600* (5.5/ 7.09) i ; 600* (4/ 7,09) j ; (-2/ 7,09) k
FRBD= 465,53 i ; 338,57 j ; -169,28 k

FR //= 330 N

FR perpendicular = 500 N


4) Determine o angulo 0 mostrado na figura.

Resolução:

A= (400, 0, 0)
B= (0, 300, -50)
C= (0, 0, 250)
D= (400, 0, 250)
E= (0, 0, 0)

DE= E-D= (-400, 0, -250)

EB= B-E= (0, 300, -50)

ANGULO

Mecânica aplicada (exercício 4)

1) Determine o comprimento do elemento AB da treliça.

Resolução:

A= (0.8, 1.2)
B= G + C = (2.88, 1.5 )
C= (1.1, 0)                              CB= 1.5 / sen 40° = 2.34
D= (0.8, 0)                              CB= 2.34 * (cos 40°) = 1.78 i
E= (0, 0)
F= (1.79, 0)
G= (1.79, 0)
H= F + C = (2.88, 0)


AB= B-A = (2.08, 0.3)
|AB| = 2.08 + 0.3 = 2.10

Logo:
AB= 2.10 m


2) Determine o comprimento do elemento AB da biela do motor mostrado.

Resolução:

B= (400 * cos 0°)i + (400 * sen 0°)j
B= 400i + 0j

A= (-125 * sen 25°)i + (125 * cos 25°)j
A = -52,82i + 113,28j

AB= B-A= (452,82 i,  - 113,82j)
|AB| = 467

Logo:

AB= 467 mm

3) Determine os comprimentos dos arames AD, BD e CD. O anel D está no centro entre A e B.

Resolução:


A= (2, 0, 1.5)
B= (0, 2, 0.5)
C= (0, 0, 2)
D= (A + B)/2 = (1, 1, 1)

AD= D-A= (-1, 1, -0.5)
|AD| = -1 + 1+ (-0.5)

Logo:
AD= 1.5 m

BD= D-B = (1, -1, -0.5)
|BD| = 1+ (-1) + (-0.5) = 1.5

Logo:
BD = 1.5 m

CD = D-C = (1, 1, -1)
|CD| = 1 + 1 + (-1) = 1.73

Logo:
CD = 1.73 m


4) Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o ponto A.

Resolução:


A= (0, -1.5, 4)
B= (1.5, 2.6, 0)      B= (3 * cos 60°)i + (3 * sen 60°)j + 0k
C= (3, -2, 0)           B= 1.5 i + 2.6j , 0k

AB = B-A= (1.5, 4.1, -4)
Logo:

|AB| = 1.5 + 4.1 + (-4)
AB = 5.92 //

Intensidade de AB
FRAB = 150* (-1.5 / 5.92)i, (4.1 / 5.92)j; (-4 / 5.92)k
FRAB = 38.01 i ; 103.88 j ; -101.35 k

AC = C-A= (3, -0.5, -4)
|AC| = 5.02

Intensidade de AC

FRAC = 200 * (3 / 5.02)i ; (-0.5 / 5.02)j ; (-4 / 5.02)k
FRAC = 119.52 i ; -19.92 j ; -159.36 k

INTENSIDADE DE AB + AC

|FR| = 157.41 + 83.94 + (-260.56)
FR = 315.78 N


ANGULOS DIRETORES DA FR de AB + AC

5) A porta é mantida aberta por meio de duas correntes. Se a tensão em AB e CD for FAB = 300 N e FCD = 250 N, expresse cada uma dessas forças como um vetor cartesiano.

Resolução:

A= (0, -2.3, 0.75)
B= (0, 0, 0)
C= (-2.5, -2.3, 0.75)          oposto = 1.5 * ( sen 30°) = 0.75
D= (-0.5, 0, 0)
E= (0, -1, 0)
F= (-2.5, -1, 0)
G= (0, -2.3, 0)

AB= B-A= (0, 2.3, -0.75)
|AB| = 0 + 2.3 + (-0.75)

AB= 2.42 m

INTENSIDADE de AB

FRAB = 300 * (0/2.42)i , (2.3 / 2.42)j , (-0.75/2.42)k
FRAB = 0i , 285,12j , -93,01k


CD= D-C= (2, 2.3, -0.75)
|CD| = 2 + 2.3 + (-0.75)
CD = 3.14 m

INTENSIDADE de CD

FRCD = 250 * (2/ 3.14)i ; (2.3 / 3.14)j ; (-0.75 / 3.14)k
FRCD = 159,23i , 183,12j , -59,7k


INTENSIDADE de AB + CD

FR = FRAB + FRCD

FR = 159,23i + 468,24j + (-152.71)k
FR = 517,61 N //

Mecânica aplicada (exercício 2)

Três forças atuam sobre o suporte mostrado. Determine o ângulo θ e a  intensidade de F1 de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo do eixo x’ positivo e tenha intensidade de 1kN.

Resolução:

F1= (F1x )î - (F1y) j

F2= (450 * cos 45°) î + (450 * sen 45°)j
F2= 318,19 î + 318,19 j

F3= (200 * cos 0°)î + (200 * sen 0°)j
F3= 200 î + 0 j

FR= (1000 * cos 30°) î - (1000 * sen 30°) j
FR= 866 î - 500 j

FR= F1 + F2 + F3

FRx= F1x + F2x + F3x

866= (F1x ) + 318,19 + 200
- F1x = -866 + 518,19    * (-1)
F1x = 347,81 N //

FRy = F1y + F2y + F3y

-500= F1y + 318,19 + 0
-F1y = 500 + 318,19     * (-1)
F1y = - 818,19 N //

arc tg = 818,19 / 347,81 = 66,9°

logo:
66,9° - 30° = 36,9°


Determine o ângulo θ e a intensidade de F1 de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.

Solução:

F1= F1x + F1y

F2= (400 * sen 30°) î + (400 * cos 30°) j
F2 = 346,41 î + 200 j

F3= (-600 * cos 36,87°) î + (600 * sen 36,87°) j
F3= - 480 î + 360 j


F1= F1x + F2x

|F1| = (F1) 346,41 - 480
0 = (F1) - 134
F1x = 134 î


FR = F1y + F2y
800= (F1y ) + 200 + 360
- F1y = -800 + 560  *    (-1)
F1y= 240 j

No sentido anti- horário




O gancho da figura está submetido as forças F 1 e F 2, determine a intensidade e a orientação da força resultante.

Solução:


F1= (- 30 * sen 30°) î - (30 * cos 30°) j
F1= - 15 î -  25,98 j

F2 = (-26 * 5 / 13) î + (26 * 12 / 13) j
F2= -10 î + 24 j

FR= (-15 - 10) + (-25,98 + 24)

Determine o ângulo θ e a intensidade de FB de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 1500N.

Solução:

FA= (700 * sen 30°) î + (700 * cos 30°) j
FA= 350 î  + 606,22 j

FB= FBx  +  FBy

FA = FAx + FBx
0= 350 + FBx
- FBx= 350 - 0    *(-1)
FBx= -350 î


FB= FAy + FBy
1500= 606,22 + FBy
- FBy= 606,22 - 1500  *(-1)
FBy= 893,78 j

FRx= FAx + FBx
FRx= 350 - 350
FRx= 0 î

FRy= FAy + FBy
FRy= 606,22 + 893,78
FRy= 1500 j

Intensidade:

No sentido horário



Determine o ângulo θ e a intensidade de F1 de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo do eixo x’ positivo e tenha intensidade de 600N.

Solução:

F1= F1x  +  F1y


F2= (350 * cos 0°) î + (350 * sen 0°) j
F2= 350 î + 0 j


F3= (-100 * cos 90°) î - (100 * sen 90°) j
F3= 0 î  - 100 j

FRx = (600 * cos 30°) î + (600 * sen 30°) j
FRx = 519,62 î  + 300 j


FRx= F1x + F2x + F3x
519,62= F1x + 350 + 0
-F1x = 350 -519,62  * (-1)
F1x= 169,62 î

FRy= F1y + F2y + F3y
300= F1y + 0 - 100
-F1y = -100 - 300  * (-1)
F1y = 400 j

Intensidade:

Mecânica geral (exercícios)

Determine  a intensidade e a direção da força resultante Fr = F1 + F2 orientada no sentido horário em relação ao semi - eixo positivo de u.

Resolução:

90° - 70° = 20°
90° - 45° - 20° = 25°

F1 = (300 * cos 30°) î + ( -300 * sen 30°) j
F1 = 259,8 î -150 j

F2 = (-500 * sen 25º) î + (-500 * cos 25°)j
F2 = -211,3 î - 453,15 j

Fr1 = 259,8 - 211,3 = 48,5 î
Fr2 = -150 - 453,15 = - 603,15 j

INTENSIDADE

DIREÇÃO

arc tg = 603,15 / 48,5 = 85,40°

180° - 85,40° = 94,6° //

A corda está presa aos pontos A e B. Determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.

A(1, 0, -3)

B(-2, 2, 3)

AB = B-A=(-3, 2, 6)

|AB|= 7

Direção

cos α = -3 / 7 = 115,37°

cos β = 2 / 7 = 73,4°

cos γ = 6 / 7 = 31° 

Intensidade e direção (exercícios)

1) Determine a intensidade e a direção da força resultante Fr = F1 + F2 orientada no sentido anti- horário em relação ao semi - eixo positivo de x.

Solução:

a) Fr = F1 + F2

F1 = (600 . cos 45°) î + (600 . sen 45°) j

F1 = 424,26 î + 424,26 j

F2 = (-800 . sen 60°) î  + (800 . cos 60°) j

F2 = -692,82 î  + 400 j

Fr1 = 424,26 - 692,82 = -268,56 N

Fr2 = 424,26 + 400 = 824,26 N

3) Determine a intensidade e a direção da força resultante Fr = F1 + F2 orientada no sentido anti - horário em relação ao semi - eixo positivo de x.

Solução:

Vou chamar Lb de U (unidades de medida)

Intensidade:

F1 = (250 . sen 30°) î  + (250 . cos 30°)  j

F1 = 125 î  +  216,5 j

F2 = (375 . cos 45°) î  - (375 . sen 45°) j 

F2 = 265,16 î  +  265,16 j

Fr1 = 125 + 265,16 = 390,16 u

Fr2 = 216,5 - 265,16 = -48,66 u

Orientação:

arc tg = - 48,66 / 390,16  = -7,09° + 360° = 353°

4) O elo da figura esta submetido às forças F1 e F2. Determine a intensidade e a orientação da FR.

RESOLUÇÃO

F1= (600 * cos 30°) i + (600 * sen 30°) j

F1 = 519,61 i ; 300 j 

F2 = -400 * cos 45 ) i ; (400 * sen 45°) j 

F2 = - 282,84 i ; 282,84 j

FR = F1 + F2

FR = 236,77 i ; 582,84 j

|FR| = 629,09 N

Tg θ = 582,84 / 236,77

Tg θ = 67,89°

5) A extremidade da barra está submetida a três forças concorrentes e coplanares. Determine a intensidade e a direção da FR.

RESOLUÇÃO

F1 = - 400 i ; 0 j

F2 = (250 * sen 45°) i ; (250 * cos 45°) j

F2 = 176,77i ; 176,77 j

F3 = (200 * cos 4/5) i ; ( - 200 * sen 3/5) j

F3 =  - 160 i ; 120 j

FR = F1 + F2 + F3

FR = -383,23 i ; 296,77 j

|FR| = 484,7 N

Tg θ = 296,77 / - 383,23

Tg θ = - 37,75° + 180 = 142, 24°