ÁLGEBRA LINEAR (Subespaços Lineares)

1) Decida quais dos seguintes conjuntos geram R³

a) {(1, 3, 3), (4, 6, 4), (-2, 0, 2), (3, 3, 1)}

b) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

c) {(1, 4, 2), (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}

d) {(26, 47, 29), (0, 0, 0), (123, 0, 489)}

Resp: Letra b: pois são 3 vetores (x, y, z)


2) Qual o subespaço gerado por S= {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}

Solução:

a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (x , y, z)

a + b + c = x
b + c = y
c = z

c = z

b + c = y
b = y - c

a + b + c = x
a = x - y

S{(a, b,c) E R³  / a = x= y , b = y - z  e c = z)}

Dimensão  S = 3


3) Determine quais dos subconjuntos são bases de R²

a) {(1, 0), (0, 1)} É BASE: LI E GERA R²
b) {(1, 1), (0, 3)} É BASE E LI : E GERA R²
c) {(1, 0), (0, 3), (2, 5)} NÃO É BASE, POIS É LD -> R²    MAS GERA 3 VETORES
d) {(1, 2)} NÃO GERA R²
e) {(1, 1), (0, 0)}  É LD


4) Calcule uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços de cada um dos seguintes subespaços lineares.

a) S={(x, y) E R² / x + y  = 0}

b) S={(x, y, z) E R³ / x + y + 2z = 0}

c) S={(S={(x, y) E R³ / x + y + z = 0 e  x + y + 2z = 0}

d) S = {(x, y ,z , w) E R³  / x + y + z + w = 0 e   x + y + 2z = 0}

Solução:

a) x + y = 0
x = - y

S= {(-y, y), y E R }
Base = {(-1, 1)}
Dim S= 1


b) x + y + 2z = 0
x = -y - 2z

S = {(-y - 2z, y, z), y, z E R}
Base: y =1 , z = 0 e y = 0 e z = 1
Base de S = {(-1, 1, 0), (-2, 0, 1)}

Dim S = 2


c) x + y + z = 0
x + y + 2z = 0


x = -y - z
z = 0

S = {(-y -z, y, 0) onde z = 0}

S = {(-y, y, 0), y E R}

Dim S = 1
Base de S = {(-1, 1, 0)}


d) x + y + z + w = 0
x + y + 2z = 0

-z + w = 0
w = z

S = {(x, y, w, w) / y , y, z E R }  ou  S = {(x, y, z, z) / x,  y, z E R }

Base = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}
Dim S = 3 //

Algoritmo 2 C++ ("Exercício 1)

ESCREVA UM PROGRAMA EM C QUE LEIA E RECEBA 10 NÚMEROS. DETERMINE E
IMPRIMA O MAIOR DELES. (usar apenas 3 variáveis).

#include<stdio.h>

main(){
int a,b, m =0, i;
printf("DIGITE  10 NUMEROS\n");
printf ("DIGITE OS 2 PRIMEIROS NUMEROS \n");
scanf ("%d %d", &a, &b);
if (a > b){
m = a;
}else{
m =b;
}
for (i=3; i <=9; i++){
printf ("DIGITE o %d NUEMRO \n",i);
scanf ("%d", &a);
if (a > m) m = a;
}
 
   printf ("\nO MAIOR NUMERO = %d ", m);



FAÇA UM ALGORITMO QUE LEIA 5 NÚMEROS E INFORME SE ELE É ÍMPAR.

#include<stdio.h>

main(){
int a, num;

printf ("DIGITE 5 NUMEROS\n");
for (a=0; a<5; a++){
scanf ("%d", &num);
if (num%2 !=0){
printf("\nO NUMERO %d E IMPAR\n",num);

}else{
printf ("\nO NUMERO %d NAO E IMPAR\n",num);
}
}
}

Resistência dos Materiais "4-101, 4-108, 4-110, 4-113"

4-101) A barra rígida é suportado por um pino em A e dois fios de aço, cada uma com um diâmetro de 4 mm. Se o limite de elasticidade aparente para os fios é σY = 530 MPa, e Est = 200 GPa, determinar a intensidade do carga distribuída w que pode ser colocado sobre o feixe e vai fazer com que apenas fio EB para produzir. O que é deslocamento do ponto G para este caso? Para o cálculo, suponha que o aço é perfeitamente elástica de plástico.

FBE = 530 N/mm^{2  .} π . 2² mm²
FBE = 6,67 KN

FCD = 530 N/mm^{2  .} π . 2² mm²
FCD = 6,67 KN

6,67 * 0,4 + 6,67 * 0,65 - Q * 0,8 * 0,4 + Ma = 0
Ma = 21,87 KN/m

δBE= ε . L 

δBE = 0,00265 . 800 mm
δBE = 2,12 mm

δG = 4,24 mm

4-108) A barra com um diâmetro de 50 mm é fixo ligado nas suas extremidades e suporta a carga axial P. Se o material elástico é perfeitamente plástico como mostrado pelo diagrama de tensão estirpe, determinar a menor carga P necessária para provocar segmento AC para produzir. Se esta carga é liberada, determinar o deslocamento permanente do ponto C.

Fa = 140 N/mm² * π * 25² mm²  

Fa = 274,89 KN

Fb = Fa = 274,89 KN

P = Fa + Fb
P = 274,89 + 274,89
P = 549,78 KN

∑Fx = 0

274,89 + 274,89 - P = 0
P = 549,78 KN

δ = ε . L

δC = 0,001 . 900 mm
δC =  0,9 mm

δCA = 0,001 . 600 mm
δCA = 0,6 mm

∑Fx = 0

F'A + F'B - P = 0
1,5. F'B + F'B - 549,78 = 0
2,5. F'B  = 549,78
F'B = 219,91 KN

F'A + 219,91 - 549,78 = 0
F'A = 329,86

F''A = 329,86 - 274,89 = 54,97 KN
- F''B = - 219,91 - 274,89 = 54,97 KN

4-110) Um rebite de aço de 6 mm de diâmetro e com uma temperatura de 800 ° C é presa entre duas placas de modo a que pelo esta temperatura é de 50 mm de comprimento e exerce uma força de aperto de 1,25 KN entre as placas. Determine a força de fixação aproximado entre as placas quando o rebite arrefece até 5 ° C. para o cálculo, suponha que as cabeças do rebite e as placas são rígidas. Tome αst = 14 (10^-6) / ° C, Est = 200 GPa. É o resultado de uma estimativa conservadora da resposta real? Por que ou por que não?

Resistência dos Materiais " 4-74 , 4-77 , 4-79"

4-74) Um tubo de 1,8 m de comprimento vapor é feita de aço com σY = 280 MPa. Ele é conectado diretamente a duas turbinas A e B como shown. O tubo tem um diâmetro externo de 100 mm e uma espessura de parede de 6 mm. A ligação foi feita em T1 = 20 ° C. Se os pontos de fixação das turbinas são assumidos rígida, determinar a força o tubo exerce sobre as turbinas a vapor, quando e, assim, o tubo de atingir uma temperatura de T2 = 135 ° C.

100 - 6 - 6  88 mm

A1= π . 50² mm

A1 = 7853,98 mm²

A2 = π . (0,5 * (100 - 6 - 6) )² mm

A2 = 6082,12 mm²

ΔA = A1 - A2 = 1771,86 mm²

F = 489,03 KN

4-77) Os dois segmentos circulares, uma haste de alumínio e o outro de cobre, são fixos às paredes rígidas de tal forma que existe um intervalo de 0,2 mm entre eles, quando T1 = 15 ° C. O maior temperatura T2 está requerido, a fim de fechar a abertura simplesmente? Cada haste tem um diâmetro de 30 mm, αal = 24 (10^-6) / ° C, Eal = 70 GPa, αcu = 17 (10^-6) / ° C, Ecu = 126 GPa. Determine a tensão normal média em cada haste, se T2 = 95 ° C.

A= π * 150²

A= 70685,83 mm²

ΔT = 80° C

ΔL = α * (ΔT) * L)

0,2 mm = 17 X 10^-6 ° C (T - 15° C) * 100 mm + 24 X 10^-6 (T - 15° C) * 70000 N/mm²

T= 15° C + (0,2 mm / (100 mm * 100 mm + 24 X 10^-6 ° C * 200 mm))

T = 45,77° C

Δgap =  αcu⋅ (ΔT)⋅Lcu - (F⋅Lcu / Ecu⋅A) + αal⋅ (ΔT)⋅Lal - (F⋅Lal / Eal⋅A)

F= 61,95 KN

4-79) Duas barras, cada um feito de um material diferente, são ligados e colocados entre duas paredes quando o T1 = temperatura é 10 ° C. Determinar a força exercida sobre o (rígido) apoia quando a temperatura torna-se T2 = 20 ° C. As propriedades do material e área da secção transversal de cada barra é dado na figura.

Resistência dos Materiais " 6-36 , 6-38 , 6-39, 6-65"

6-36)

ΣΜB=0

2,25 + Ra * 3,6 + 0,5 * 45 * 1,8 * (1/3) = 0

Ra * 3,6 + 24,3 = 0

RA = - 7,38 KN

ΣFy=0

Rb - 7,38 - 45 * 0,5 * 1,8 = 0

Rb = 47,88 KN

6-38)

A1 = (18 - 12) * 3 )) /2 = 9 KN 

A2 = 12 * 3 = 36 KN

Rb = 9 + 36

Rb = 45 KN

Mb = 36 . 1,5 + 9 . 1

Mb = 63 KN.m

6-39) Desenhe os diagramas de cisalhamento e de momento para o feixe.

A1 = ( 400 - 200 ) * 3 )) / 2= 300 N

A2 = 200 N/m

- 300 . (6 - (3 / 3 )) - 200 . 3 . 4,5 + Rb . 6 = 0

 Rb = 700 N

Ra + 700 - 300 - (200 . 3 ) = 0

Ra = 200 N

6-65) Se o feixe no Problema abaixo tem uma secção transversal quadrada, de 150 mm X 150 mm, determine a tensão máxima de flexão na viga.

Iz = (0,15 * 0,15³ ) / 12

Iz = 4,21875 x 10^-5 m⁴

σ = (38,89 KN.m * 0,075 m) / 4,21875 x 10^-5 m⁴

σ = 69,14 MPa

VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA " Elipse "

Em cada um dos problemas de 1 a 10, esboçar o gráfico e determinar os vértices A1 e A2, os focos e a cdas elipses dadas.

1)

a² =  25 = 5
b² = 4 = 2

a²  =  b² + c²
25 = 4 + c²
c = √21

FOCO = C

F1 = (-√21 , 0)
F2 = (√21 , 0)

2) 25x² + 4y² = 100

a² =  25 = 5
b² = 4 = 2

a²  =  b² + c²
25 = 4 + c²
c = √21 

FOCO = C

F1 = (0 , -√21)
F2 = (0 , √21)

3) 9x² + 16y² - 144 = 0

a² =  16 = 4
b² = 9 = 3

a²  =  b² + c²
16 = 9 + c²
c = √7 

FOCO = C

F1 = (-√7 , 0)
F2 = (√7 , 0)

4) 9x² + 5y² - 45 = 0

a² =  9 = 3
b² = 5 = √5

a²  =  b² + c²
9 = 5 + c²
c = 2

FOCO = C

F1 = ( 0 , -2)

F2 = ( 0 , 2)

5) x² + 25y²  = 25

a² =  25 = 5
b² = 1 = 1

a²  =  b² + c²
25 = 1 + c²
c = √24

FOCO = C

F1 = ( -√24, 0 )

F2 = (√24, 0 )

Resistência dos Materiais "7-10, 7-13, 7-14"

7-10) Faça um gráfico da intensidade da tensão de cisalhamento distribuídas ao longo do corte transversal da escora, se ela for submetida a uma força de cisalhamento de V = 15 KN.

Cg = (0 , 42)

Iz = (5,20704 X 10^-6 ) m⁴

Qa = 0,036 m . 0,12m . 0,012 m
Qa = 5,184 X 10 ^-5 m³

Qmax = 0,015m . 0,08m . 0,03m +  0,036 m . 0,12m . 0,012 m
Qmax = 8,784 X 10 ^-5 m³

7-13) A haste abaixo é de aço e de 30 mm. Se ele é submetido a um cisalhamento de V = 25 KN, determine tensão máxima de cisalhamento.

7-14) Se a viga T for submetida a um cisalhamento vertical de V = 60 KN, determine a tensão máxima de cisalhamento na viga. Calcule o salto de tensão na junção da alma AB. Esboçar a variação do intensidade de corte de estresse sobre a seção transversal inteira.

Cg= (0 , 142.5)

Iz = 152578125 mm⁴

Cg A1 = ( 0, 75)

Cg A2 = (0 , 187.5)

QMAX =  142,5mm . 71,25mm . 100mm

QMAX = 1015312,5 mm³

QAB = 45 mm . 75mm .  300mm
QAB = 1012500 mm³

FÍSICA 1 " CINEMÁTICA ROTACIONAL "

TABELA DE EQUAÇÃO LINEAR E ANGULAR

POSIÇÃO

S= θ.R (angulo em radianos)

VELOCIDADE

V= ω.R

ACELERAÇÃO

a= α.R (angulo em radianos)

rev/s - > ω = 2 . π 
rev - > ω = 2 . π 

1) A posição angular de um ponto de uma roda é dada por θ = 2 + 4t² + 2t³ , onde θ está em radianos e t em segundos. Em t = 0, qual é ?

a) Posição

θ = 2 +  4.0² + 2.0³
θ = rad

b) Velocidade angular

θ = 2 + 4t² + 2t³
θ' = 8t + 6t²
θ' = 8.0 + 6.0²
θ' = 0

c) aceleração angular em t = 4s
θ = 2 + 4t² + 2t³
ω' = 8t + 6t²
ω' = 8 . 4 + 6 . 4²
ω' = 128 rad/s

d) Calcule a aceleração angular em  t = 2s

θ = 2 + 4t² + 2t³
ω' = 8t + 6t²

α'' = 8 + 12t
α'' = 8 + 12 . 2
α'' = 32 rad/s²

2) Um mergulhador realiza 2,5 giros ao saltar de uma plataforma de 10 metros. Supondo que a velocidade vertical inicial seja nula, determine a velocidade angular média do mergulhador.

3) A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por θ = 4t - 3t² + t³ , onde está em radianos e t em segundos. Qual é a velocidade angular em :

a) t = 2s

ω' =  4 - 6t + 3t²
ω' = 4 - 6.2 + 3.2²
ω' = 28 rad/s

b) t = 4s

ω' = 4 - 6.4 + 3.4²
ω' = 28 rad/s

c) Qual é a aceleração angular média no intervalo de tempo que começa em t = 2s e termina em 4s ?

θ = 4t - 3t² + t³

ω' = 4 - 6.t + 3t²

α'' =  -6 + 6t
α'' = - 6 + 6 . 2
α'' = 6 rad/s²

4) A roda da figura tem oito raios de 30 cm igualmente espaçados, está montada em um eixo fixo e gira a 2,5 vezes rev/s. Você deseja atirar uma flecha de 20 cm de comprimento paralelamente ao eixo da roda sem atingir um dos raios, Suponha que a flecha e os raios são muito finos.

a) Qual é a menor velocidade que a flecha deve ter ?  FIGURA

5) A aceleração angular de uma roda é α = 6t² - 4t³. No instante t = 0, roda tem uma velocidade angular de 2 rad/s e uma posição angular de 1 rad. Escreva as expressões:

a) Para a velocidade angular em rad/s 

α = 6t² - 4t³
ω = 1.2 t⁵ – 1.33 t³ + 2.0

b) Para a posição angular em rad em função do tempo em s

ω = 1.2 t⁵ – 1.33 t³ + 2

θ = 0,2t⁶ – 0,33 t⁴ + 2 t + 1

6) Um tambor gira em torno do eixo central com uma velocidade angular de 12,6 e aceleração de 4,2 rad/s² . 

a) Quanto tempo leva para parar ?

b) Qual é o angulo total descrito pelo tambor até parar ?

θ − θo = − 12,6² / 2 . 4,2

θ  = 18,9 rad

7) Partindo do repouso, um disco gira em torno do eixo central com uma aceleração angular constante. O disco gira 25 rad em 5s . Durante esse tempo, qual é o módulo :

a) da aceleração angular

25 rad = 1/2 . α 5²

 α = rad/s²

b) da velocidade angular media

c) Qual é a velocidade angular instantânea do disco ao final dos 5s

ω = (2.0 rad/s² ).(5 s) 
ω = 10 rad/s

d) Com a aceleração angular mantida, que angulo adicional o disco irá descrever nos 5s seguintes ?

θ = ω + α.t = 1/2 + (2.0 rad/s² ). (10 s)² 
θ = 100 rad

θ - θ0 = 100 - 25 rad

θ - θ0 = 75 rad

8) Um disco, inicialmente girando a 120 rad/s , é freado com uma aceleração angular constante de modulo 4 rad/s².

a) Quanto tempo o disco leva para parar ?

b) Qual é o ângulo total descrito pelo disco durante esse tempo ?

θ = 1/2 (ω0 +ω) t
θ = 1/2 . (120 +0) . 30
θ = 1800 rad

9) A velocidade angular do motor de um automóvel é aumentada a uma taxa constante de 1200 rev/min para 3000 rev/min  em 12 s.

a) Qual é a aceleração angular em revoluções por minuto ao quadrado ?

ω = ω0 + α . t
3000 = 1200 + α . (12 /60)
α =  9000 rev/ min²

b) Qual é o angulo total descrito pelo disco durante esse tempo ?

ω² = ω0² + 2 . α . Δθ
3000² = 1200² + 2 . 9000 . Δθ
 Δθ = 420 rev

10) Uma roda executa 40 revoluções quando desacelera a partir de uma velocidade angular de 1,5 rad/s até parar.

a) Supondo que a aceleração angular é constante, determine o tempo em que a roda leva para para parar.

θ = 1/2 (ω0 + ω) t
40 = 1/2 ( 0,239) . t
t = 335 s

b) Qual é a aceleração angular da roda ?

θ = ω0 .t - 1/2 . α . t²
40 = 0 - 1/2 . α . 335²
α = 0,000712 rev/s²

11) Um disco gira em do eixo central partindo do repouso com aceleração angular constante. Em um certo instante, está girando a 10 rev/s; após 60 revoluções, a velocidade angular é 15 rev/s. Calcule :

a) a aceleração angular

α = (15² - 10² ) / (2 . 60)
α = 1,04 rev/s²

b) o tempo necessário para completar 60 revoluções

Δt = 2 . 60 / (10 + 15)
Δt = 4,8 s

c) o tempo necessário para atingir a velocidade angular de 10 rev/s

t = 10 / 1,04
t = 9,6 s

d) o numero de revoluções desde o repouso até o instante em que o disco atinge uma velocidade angular de 10 rev/s.

θ = 10² - 0²  / (2 . 1,04)
θ = 48 rev

12) Uma roda tem uma aceleração angular constante de 3 rad/s² . Durante um certo intervalo de 4s, descreve um angulo de 120 rad. Supondo que a roda partiu do repouso, por quanto tempo já estava em movimento no inicio deste intervalo de 4s ?

t2 + t1 = (2 . 120) / ( 3 .4 )

t2 + t1 = 20 s

t2 = 12 s
t1 = 8s

θ1 = 1/2 . 3 . 8 = 96 rad
θ2 = 1/2 . 3 . 12 = 216 rad

13) Um carrossel gira a partir do repouso com uma aceleração angular de 1,5 rad/s² . Quanto tempo leva para executar :

a) as primeiras 2 revoluções

θ - θ0 = ω0² . t + 1/2 . α .t²
2.3,14 . 2 = 0 . t + 1/2 . 1,5  . t²
t = 4,09 s

b) as 2 revoluções seguintes

4 . 3,14 . 2 = 0 . t + 1/2 . 1,5  . t²

t = 5,78 s

t = 5,78 - 4,09
t = 1,7 s

14) Em t = 0, uma roda tem uma velocidade angular de 4,7 rad/s , uma aceleração angular constante de - 0,25 rad/s²  e uma reta de referencia em  θ = 0.

a) Qual é o maior θmax descrito pela reta de referencia no sentido positivo ?

θ = (4,7)² / (2 / - 0,25)
θ = 44 rad

15) Uma roda A de raio rA = 10 cm está acoplada por uma correia B a uma roda C de raio rC = 25 cm. A velocidade angular da roda A é aumentada, a partir do repouso, a uma taxa constante de 1,6 rad/s2 . Determine o tempo necessário para que a roda C atinja a velocidade angular de 100 rev/s, supondo que a correia não deslize. (sugestão: se a correia não desliza, as velocidades lineares das bordas das rodas são iguais).

αc = (ra / rc) . αc
αc = (10 / 25) . 1,6 
αc = 0,64 rad/s² 

t = ω / αc = 10,5 / 0,64
t = 16,4 s