ELETRICIDADE APLICADA EA 04

1. No circuito abaixo, i1 = 9A e i2 = 6A. Calcule a relação R2/R1.

Resolução:

2.Uma carga reque 3A e absorve 48W. Se está disponível apenas uma fonte de 4A, calcule o valor de resistência a ser colocada em paralelo com a carga. Resposta: R=16Ω.

Resolução:

3. Um resistor de 20 Ω, um resistor de 30Ω e um resistor R são conectados em paralelo para formar uma resistência equivalente de 4Ω. Calcule R e sua corrente se uma fonte de corrente de 6A é conectada a esta combinação de resistores. Resposta: R=6Ω; i=4A

Resolução:

4. Um divisor de corrente é constituído de uma conexão paralela de resistores 10kΩ, 20kΩ, 30kΩ e 60kΩ. Calcule a resistência equivalente do divisor, e , sabendo que a corrente total que entra no divisor é 120mA, calcule o valor da corrente no resistor de 60kΩ. Resposta: 5kΩ e 10mA.

Resolução:

5. Um divisor de corrente é constituído de 10 resistores em paralelo. Nove deles têm resistência iguais a 60kΩ e o décimo é de 20kΩ. Calcule o valor da resistência equivalente deste divisor e, sabendo que total que entra no divisor é 40mA, encontre o valor da corrente no décimo resistor. Resposta: 5kΩ e 10mA.

Resolução:

6. Calcule a resistência equivalente vista pela fonte e a corrente i. Resposta:10Ω e 0,2A

Resolução

7. Calcule i1 e i2. Resposta:1A e 0,75A

Resolução:

Req1 = (3.6)/(3+6) = 2 + 6= 8Ω
Req2= (8.24) / (8+24) = 6+ 4= 10Ω
Req = (10.15) / (10+15) = 6 + 4 = 10Ω

i= 25/10 = 2,5 A

LKT

25-10-V =0
V= 15V

i= 15 / 15 = 1A

LKT
-6 +15 -V=0
V=9VV

i= 9/24 = 0,375 A

LKC

-1,5+0,375 + i=0
i = 1,12A

LKT
-6 - 6,75 + 15 +V =0
V= 2,25V

i2 = 2,25 / 3 = 0,75A

8. Calcule v e potência entregue pela fonte. Resposta:2V e 432W

Resolução:

9. Calcule v. Resposta: 10V

Resolução:

11. Calcule v e i. Resposta: 120V e 2mA.

Resolução:

Req1= (12 . 6)/ (12+6)
Req1= 4 + 16 = 20KΩ

Req2= (20 . 5)/ (20+5)
Req2= 4KΩ

V= 4 . 30 = 120V

12. Calcule i, i1 e v. Resposta: 0,33A, 3A e 4V

Resolução:

Req1 = (6 .12) / (6+12) = 4 + 12 = 16Ω
Req2 = (16.16) / (16+16) = 8 + 2 = 10Ω

i= 30/10 = 3A



19. Calcule i1, i2 e v. Resposta: 10A, 2,5A e10V

Resolução:

Resistência dos Materiais Avançado (PROJETO DE VIGA PRISMÁTICA)

Escolher um perfil de abas largas para suportar a força de 67 kN como indica a figura 1. A tensão normal admissível é de 165 Mpa e a tensão de cisalhamento admissível é de 100 MPa, para o aço utilizado. Verificar nas juntas.

Dados: Utilize a tabela abaixo.

Rb = 67 KN

Mb = 67 * 2,4 = 160,8 KN.m

σ / W ≤ Tadm
(160 X 10⁶ N.mm) / W   ≤ 165 N/mm²
W  ≥ 974,55 X 10³ mm³


W 610 X 82
W 460 X 60
W 410 X 67
W 360 X 64
W 310 X 74
W 250 X 80
W 200 X 100

Logo; o perfil que possui o menor peso por metro quadrado é o 460 X 60

d= 455 mm
Talma = 8 mm
baba = 153 mm
Taba = 13,3 mm
Ix = 255 X 10⁶ mm⁴

T = Vmax / (Area da alma) = 67 X 10³ / (455 * 8)
T = 18,41 MPa < Tadm   OKK !

Tc = (Max * y) / Ix
Tc = (160,8 X 10⁶ * 214,2) / 255 X 10⁶

Tc = 135,07 MPa < Tadm (165 MPa) OKK !!


Uma viga será feita de aço que tem tensão de flexão admissível σadm=170 MPa e tensão de cisalhamento admissível τadm=100MPa. Selecione uma forma W adequada para suportar a carga mostrada na figura 2.

- 120 x 2 - 60 x 6 + Rb x 4 = 0
Rb = 150 KN

Ra + 150 KN - 120 - 60 = 0
Ra = 30 KN

W = 120 X 102255 X 10⁶ / 170
W ≥ 705,88 X 10³ mm³

W 250 X 67
W 200 X 86
W 610 X 82
W 460 X 52
W 410 X 46
W 360 X 51
W 310 X 67

Logo perfil mais adequado W 410 X 46

d= 403 mm
Talma = 6,99 mm
baba = 140 mm
Taba = 11,2 mm
Ix = 156 X 10⁶ mm⁴

T = Vmax / (Area da alma) = 90 X 10³ / (403 * 6,99)
T = 31,95 MPa < Tadm   (100 MPa) OKK !

Tc = (Max * y) / Ix
Tc = (120 X 10⁶ * 190,3) / 156 X 10⁶

Tc = 146,13 MPa < Tadm (165 MPa) OKK !!

Planejamento e Orçamento de obras

Exercício:

 1) Calcule o volume corte, de transporte e o momento de transporte de terra para execução das sapatas abaixo, considerando que elas serão executadas com escoramento em terra seca e com uma profundidade de 1,75 m. (Obs. considere a distância de 5 Km).

Obs1= Aumentar 10 cm de cada lado
Obs2 = Terra seca tem 26% de empolamento

Resolução:

Area = 3 x 2,2 = 6,6 m²

Volume de corte = 6,6 x 1,75 = 11,55 m³

Fator de interpolamento = (26% / 100) +1 = 1,26%

Volume de transporte = 11,55 x 1,26 = 14,55 m³

Momento de transporte = Vol x distância = 14,55 m³ x 5 km = 72,75 km . m³

2) Calcule a quantidade de fôrma, concreto e aço para execução do pilar apresentado, considerando que estamos executando o subsolo 2.

Resolução:

Quantidade de aço: Ø5 = (2 x 19 x 1,58 + 3 x 19 x 0,37) 0,157 = 12,47 Kg

Quantidade de aço: Ø16 = (16 x 3,54) 1,57 = 88,92 Kg

∑Ø = 101,39 Kg de aço

Resistência dos Materiais 2

7.5) Se as viga de abas largas for submetida a um cisalhamento V= 125 KN, determine a tensão de cisalhamento a qual a alma da viga resistirá.

Resolução:

Ix = 222135416,66 mm⁴
Ms = 125 . 25  . 62,5 + 200 . 25 . 137,5
Ms = 882812,5 mm³

Algoritmo 2 C/C++

Escreva uma função que receba como parâmetro a hora de início e a hora de término de um jogo, ambas subdivididas em dois valores distintos: horas e minutos. A função deverá retornar a duração expressa em minutos, considerando que o tempo máximo de duração de um jogo é de 24 horas e que ele pode começar em um dia e terminar no outro.

#include<stdio.h>
int jogo(){
int h1,m1,h2,m2,t;
printf("Digite a hora e depois os minutos do inicio do jogo\n");
scanf("%d%d",&h1,&m1);
printf("digite a hora e depois os minutos do fim do jogo\n");
scanf("%d%d",&h2,&m2);
if(h1==h2&&m1==m2)  //considerando que houve jogatina
t=1140;
else{
if(m1>m2){
if(h1>h2)
t=(((h2+24)-h1)*60)+((m2+60)-m1);
else
t=((h2-h1)*60)+((m2+60)-m1);
}
else{
if(h1>h2)
t=(((h2+24)-h1)*60)+(m2-m1);
else
t=((h2-h1)*60)+(m2-m1);
}
}
return t;
}
main(){
int partida;
partida=jogo();
printf("Tempo de jogo foi %d minutos",partida);
return 0;
}

 Escreva uma função que receba como parâmetro uma matriz A(12,12) e retorne a média aritmética dos elementos abaixo da diagonal principal. 

# include <stdio.h>

# include <stdlib.h>

int const linha = 4, coluna = 4; // Quantidade de linhas e Colunas da Matriz

float Abaixo_Diagonal(float Matriz[linha][coluna]); // Declarando a função Abaixo da Diagonal

int main(){

float resultado, Matriz_A[linha][coluna];

int i, j;

printf("\n\n");

printf("   Media Aritmetica dos Elementos Abaixo da Diagonal Principal da uma Matriz");

printf("\n\n\t");

printf("Informe os Elementos da Matriz:");

printf("\n\n");

for(i = 0; i < linha; i++){ // laço para ler os elementos da Matriz

for(j = 0; j < coluna; j++){

scanf("%f", &Matriz_A[i][j]);

}

}

system("cls"); // limpar a tela

printf("\n\n\t");

printf("A Matriz %dx%d eh: ",linha, coluna);

printf("\n\n\n");

for(i = 0; i < linha; i++){   // laço para exibir na tela a Matriz

for(j = 0; j < coluna; j++){

printf("%.2f", Matriz_A[i][j]);

printf("\t");

}

printf("\n\n");

}

Abaixo_Diagonal(Matriz_A); // Chamanado a função Abaixo da Diagonal 

resultado = Abaixo_Diagonal(Matriz_A); // resultado recebe a media aritmetica calculado pela funcao

printf("\n\n");

printf("A Media Aritmetica dos Elementos Abaixo da Diagonal Principal eh: %.2f", resultado);

printf("\n\n");

}

float Abaixo_Diagonal(float Matriz[linha][coluna]){ // Declarando a função Abaixo da Diagonal

float somou, contador;

int i, j;

somou = 0;

contador = 0;

for(i = 0; i < linha; i++){

for(j = 0; j < coluna; j++){

if(j < i){

somou = somou + Matriz[i][j];

contador = contador + 1;

}

}

}

somou = somou / contador;

return somou;

}

Algoritmo 2 C / C++

3) Elabore uma função que receba um número e apresente sua raiz quadrada.

# include <stdio.h>
# include <stdlib.h>
# include <math.h> // Biblioteca para usar raiz quadrada

void Raiz_Quadrada(float x); // Declarando a Função

int main(){

float numero;

printf("\n\n\t\t");
printf("Este Programa Exibi a Raiz Quadrade de um Numero");
printf("\n\n\t");
printf("Informe um Numero Maior do que 0: ");
scanf("%f", &numero);

while(numero < 0 ){ // Condição para verificar se o numero é menor do que Zero

system("cls"); // Serve para limpar a tela
printf("\a\n\n\t");
printf("Por favor, Digite um Numero Maior do que Zero: ");
scanf("%f", &numero);
}

Raiz_Quadrada(numero); // Chamando a função Raiz Quadrada

system("pause");
}

void Raiz_Quadrada(float x){

float resposta;

resposta = sqrt(x);

system("cls");
printf("\n\n\t");
printf("A Raiz Quadrade de %.2f eh: %.2f", x, resposta);
printf("\n\n");
}


4) Escreva um programa contendo uma função que receba 3 números inteiros a, b e c, sendo a maior que 1. A função deverá somar todos os inteiros entre b e c que sejam divisíveis por a (inclusive b e c) e retornar o resultado para ser impresso na função principal.

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

int intervalo(int l, int m, int n);   // SubRotina intervalo

int main(){

int a, b, c;
int auxiliar, somatoria;

a = 0;

while(a <= 1 || b < a || c < a){   // enquanto 'A for menor ou igual 1, ou enquanto 'B ou 'C for menor do que 'A. FAÇA

system("cls");

printf("\n\n\t\t");
printf("Digite tres numeros inteiros (A, B, C)");
printf("\n\n\n\t");

printf("Digite o valor de A (A deve ser maior do que 1): ");
scanf("%d", &a);
printf("\n\n\t");

printf("Digite o valor de B (B deve ser maior ou igual a A): ");
scanf("%d", &b);
printf("\n\n\t");

printf("Digite o valor de C (C deve ser maior ou igual a A): ");
scanf("%d", &c);
printf("\n\n\t");
}

if(b > c){   // organiza em ordem crescente {B, ... , C}

auxiliar = b;
b = c;
c = auxiliar;
}

somatoria = intervalo(a, b, c);   // chamando a subRotina intervalo

printf("A soma dos N' inteiros entre %d e %d divisiveis por %d e: %d", b, c, a, somatoria);
printf("\n\n\n");

system("PAUSE");
return 0;
}

int intervalo(int l, int m, int n){

int soma, resto, i;

soma = 0;

for(i = m; i <= n; i++){   // laço de repetição de 'M até 'N. {M, ... , N}.

resto = m % l;

if(resto == 0){   // condição: se o 'resto for igual a zero. ENTÃO

soma = soma + m;
}

m = m + 1;
}

return soma;   // retorna a soma
}

Algoritmo 2 C/C++

1) Formule um programa que receba os valores de contas a pagar ao longo do ano, de modo que cada linha representa um mês do ano e cada coluna uma semana do mês. Com isso, temos uma matriz 

12 x 4. Calcule e imprima: total de contas a pagar por mês e o total anual.

# include <stdio.h>

# include <stdlib.h>

const int quant_mes = 12; // quantidade de Meses

const int quant_semana = 4; // quantidade de semanas

int main(){

int i, j, auxiliar;

float gastos[quant_mes][quant_semana], mes[quant_mes], total_anual;

printf("\n\n\t\t");

printf("Informe Gastos ao Longo do Ano");

printf("\n\n\n\t");

for(i = 0; i < quant_mes; i++){

printf("Mes %d:", i + 1);

printf("\n\n");

for(j = 0; j < quant_semana; j++){

printf("%d Semana R$: ", j + 1);

scanf("%f", &gastos[i][j]);

}

printf("\n");

}

for(i = 0; i < quant_mes; i ++){ // Zerando o Vetor total do Mês

mes[i] = 0;

}

total_anual = 0;

for(i = 0; i < quant_mes; i++){

for(j = 0; j < quant_semana; j++){ // Somando o Total de Gastos num mes

mes[i] = mes[i] + gastos[i][j];

}

total_anual = total_anual + mes[i]; // Somando o Total de Gastos de todos os meses

}

printf("\n\n");

system("pause");

system("cls");

printf("\n\n\t\t\t");

printf("TABELA DE GASTOS AO LONGO DO ANO");

printf("\n\n\n");

printf("            Semana 1");

printf("            Semana 2");

printf("            Semana 3");

printf("            Semana 4");

printf("              TOTAL");

for(i = 0; i < quant_mes; i++){

printf("\n\n");

printf("MES %d       ", i + 1);

for(j = 0; j < quant_semana; j++){

printf("R$ %.2f", gastos[i][j]);

printf("             ");

}

printf("R$ %.2f", mes[i]);

}

printf("\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t                              R$%.2f", total_anual);

printf("\n\n");

}

2) Elabore um programa que por meio de função efetue e apresente o valor da conversão de um valor em real de um valor lido em euros. Deverá ser solicitado por meio do programa principal o valor da cotação do euro e a quantidade de euro disponível.

# include <stdio.h>

# include <stdlib.h>

#include <locale.h> // necessário para usar setlocale

float Conversor(float cot_euro, float euro_disp); // Declarando funcão Conversor

int main(){

setlocale(LC_ALL, "Portuguese");

float cotacao_euro, euro_disponivel, real;

printf("\n\n\t\t");

printf("Conversão do Euro (£) em Reais (R$)");

printf("\n\n\n\t");

printf("Informe o Valor da Cotação do Euro (£): ");

scanf("%f", &cotacao_euro);

printf("\n\n\t");

printf("Informe a Quantidade de Euro (£) Disponivel: ");

scanf("%f", &euro_disponivel);

printf("\n\n\t");

Conversor(cotacao_euro, euro_disponivel); // chamando a função Conversor

real = Conversor(cotacao_euro, euro_disponivel); // real recebe o calculo da conversão

system("cls");

printf("\n\n\t\t\t\t\t\t");

printf("Converter para:");

printf("\n\n\t");

printf("Cotação do Euro (£): %.2f", cotacao_euro);

printf("\t\t\t");

printf("R$ 1");

printf("\n\n\t");

printf("Euro (£) Disponível: %.2f", euro_disponivel);

printf("\t\t\t");

printf("R$ %.2f", real);

printf("\n\n\n");

system("pause");

}

float Conversor(float cot_euro, float euro_disp){

float resultado;

resultado = (euro_disp / cot_euro);

return resultado;

}

Resistência dos Materiais Avançado (7.5)

7.5) Se as viga de abas largas for submetida a um cisalhamento V= 125 KN, determine a tensão de cisalhamento a qual a alma da viga resistirá.

Resolução:
Ix = 222135416,66 mm⁴
Ms = 125 . 25  . 62,5 + 200 . 25 . 137,5
Ms = 882812,5 mm³

Resistência dos Materiais Avançado (7.3)

7.30) A viga é composta por três peças de plástico coladas nas linhas de junção A e B. Se for submetida ao carregamento mostrado na figura, determine a tensão de cisalhamento a qual resiste a aba superior da viga na seção crítica. Os apoios em C e D exercem somente reações verticais sobre a viga.

Resolução:

Ra=Rb= (3 x 2,5) /2 = 3,75 KN

At = 10000 m²
Cg = 150 mm
Ix = 350 x 10⁶ mm⁴
b = 50 mm

Ms = 50 mm . 200 mm . 125 mm = 1,25 x 10⁶ mm³

Resistência dos Materiais Avançado (7.16)

7.16) A viga T está sujeita ao carregamento mostrado na figura. Determine a tensão de cisalhamento transversal máxima na seção crítica da viga.

Resolução

-20 . 2 - 8 . 3 . 5,5 + Rb . 7= 0
Rb = 24,57 KN

Ra + 24,57 - 20 - 8 .3 = 0
Ra = 19,43 KN

Cg = 80 mm
Ix = 5333333,34 mm⁴

∑Ma = 0
-20 . 2 - 8. 3 . (4+ 1,5) + Rb . 7 = 0
Rb = 24,57 KN

∑Fy = 0
Ra + 24,57 - 20 - 8 . 3 = 0
Ra = 19,43 KN

Msx = 80 . 20 . 40 = 6400 mm³

Matemática Discreta

1) Prove, por indução matemática as seguintes fórmulas.

h) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)

Solução :

a) p/ n=1

(2.1 -1)² = (1 . 1 . (2.1-1)(2.1+1))/ 3
1 = 1 Ok é valida

p/ n= k+1
2(k+1-1)² = (k+1)(2(k+1-1)) (2(k+1+1)) / 3
2(k+1-1)² = 1/3 k(2k-1) ( 2k+1) + (2k+1)²
(k+1)(2k+1)(2k+3) 1/3  = 1/3 (k+1) + (2k+1)(2k+3)

.
.
.
.

2) Mostre que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos é sempre divisível por 3 : SUGESTÃO : Considere a sentença aberta.

P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n = n³  + (n + 1)³  + (n + 2)³

Mostre por indução que a sentença é divisível por 3 para todo n natural.

Solução:
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n = n³  + (n + 1)³  + (n + 2)^{3
p/ n= k+1
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + k+1 = (k+1)3  + (k+1 + 1)3  + (k+1 + 2)3}
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + k+1 = (k+1)³  + (k+2)³  + (k+3)^{3
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + k+1 = k3  +  3k2}+ 3k +1 + ^{k3  +  6k2}+ 12k + 8 + ^{k3  +  9k2}+ 27k + 27
^{P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + k+1 = 3k3  +  18k2}+ 42k +36   

Logo é divisível por 3

3) Dada a sentença aberta em naturais.

Mostre que : Qualquer que seja n natural, se P(n) é verdadeira, então P(n+1) é verdadeira:

Resolução:

4) Sejam as proposições P: "Está chovendo", Q: "O sol está brilhando" e R: "Há nuvens no céu". Traduza as seguintes sentenças para a notação lógica.

a) "Choverá se o sol brilhar ou se o céu estiver com nuvens".

b) "Se está chovendo, então há nuvens no céu."

c) "O sol brilha quando e apenas quando o céu fica com nuvens."

Resolução:

a) (P --> Q) v R "Se chover o sol brilhará e o ceu está com nuvens"

b) ~ P <--> R "Não está chovendo, logo há nuvem no céu

c) ^ P < -- > R "O sol está brilhando, se somente se quando há nuvens no céu"



5) Utilizando o exercício anterior, determine os significados para as proposições.

a) (P ^Q) --> R

b) ~P <--> (Q v R)

c) ~(P v Q) ^ R

Resolução:

a) Se está chovendo ou o sol brilha, então há nuvens no céu

b) Não é verdade que está chovendo se somente se o sol brilhar, ou há nuvens no céu.

c) Não é verdade que está chovendo ou o sol brilha e há nuvens no céu


6) Sabendo que a proposição p é verdadeira encontre a tabela verdade da proposição abaixo:
(Q >-P) < - > (P^Q ) - > P -> Q)

Resolução:

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADO

7.46) Pregos com resistência ao cisalhamento total de 40 N são usados em uma viga. Se os pregos forem espaçados de 9 cm, determine a força vertical que pode ser suportado de modo que os elementos de fixação não falhem.

Solução:

Ix = (30 * 5³ /(12) + 150 * 22,5² ) 2 + (40 * 250³ /(12))
Ix = 205833,33 cm⁴
Ix = 137711588.54 cm⁴


Fp = q . s
40 N = q . 9cm
q = 40/9 N/cm

MSc = (75 . 25 . 73,44) + 40 . 250 . 48,44  = 622100 mm³ = 622,1  cm³

q = (Q . V) / Ix  

40 / 9 N/cm = (622,1 cm³ . V) / 13771,1588.54 cm⁴
V = 98,34 KN

PRODUTO DE UMA MATRIZ 3 X 3

PRODUTO DE UMA MATRIZ 3 X 3 " Linguagem C++ "

#include <stdio.h>

int main ()
{Int Linha, Coluna, i, somaprod;
  int MATa [3] [3] = {{1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}};
  int MatB [3] [3] = {{1,1,0}, {0,1,2}, {4,0,1}};
  int MATC [3] [3];

  for (Linha = 0; Linha <3; Linha ++)
for (Coluna = 0; Coluna <3; Coluna ++) {
      somaprod = 0;
      for (i = 0; i <3; i ++) somaprod + = Mata [Linha] [i] * MatB [i] [Coluna];
      MATC [Linha] [Coluna] = somaprod;
    }
 
  for (Linha = 0; Linha <3; Linha ++) {
    for (Coluna = 0; Coluna <3; Coluna ++)
      printf ( "% 3d", MATC [Linha] [Coluna]);
    printf ( "\ n");
  }
  system ( "PAUSE");    
  return 0;
}

ALGEBRA LINEAR

1) Seja a matriz A= | sin(x)       cos(x) |  , então seu determinante é igual a -1.
                             | cos(x)    - sin (x) |

Solução:
Det = sin(x) * - sin (x) - cos(x) * cos(x)
Det = -1 VERDADEIRA

2) A matriz

é simétrica para x = ± 2.

Solução:

para x = - 2

para x = 2

FALSO, não é simétrico

2) Suponha que A ≠ 0 e AB = AC, onde A, B e C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida.

a) B = C

Solução:

Portanto é FALSO B ≠ C

3) Verifique se a matriz A= | 4  -4 | pode ser escrita como combinação linear das matrizes.

                                        |-6  16|

A1= | 1   2 |

       |3    4 |

A2 = | -1  2 |

        |  3  -4|

A3 = | 1  -2 |

        |-3   4 |

Solução:

A= x .A1 + y . A2 + z . A3

x- y +z = 4                     2x + 2y - 2z = -4

3x + 3y -3z = - 6            4x -4y + 4z = 16

(3.L1x + L2x) =>  6x = 6 => x = 1

(-2.L1y + 2Ly) =>  8z = 24 = >  z = 3

x- y +z = 4 

Substituindo os valores

1 - y + 3 = 4

- y = 0

y = 0

Substituindo todos valores no sistema

x- y +z = 4 

1 - 0 + 3 = 4

4 = 4 ok

3x + 3y -3z = - 6

3.1 - 3 .0 - 3.3 = -6

3 -9 = -6

-6 = -6 ok 

2x + 2y - 2z = -4

2.1 + 2. 0 - 2.3 = -4

2 - 6 = -4

-4 = -4 ok

4x -4y + 4z = 16

4.1 - 4.0 + 4.3 = 16

4 + 12 = 16

16 = 16 ok

Logo: é combinação linear

4) Determine k para que o sistema admita solução:

Solução:

3       -2  5

-5k    3   3            Det = 65k - 69

2      -1  -4

39    -2    5

-36    3    3            Detx  = 516

-19   -1  -4 

Det = Detx

65k - 69 = 516

65k = 585

k = 9 //

3       -2  5

-45    3   3            Det = 516

2      -1  -4

39       -2  5

-36      3   3            Detx = 516

-19    -1  -4

3       39    5

-45   -36   3            Dety = - 1548

2      -19  -4

3       -2    39    

-45     3   -36               Detz = 3096

2      -1    -19  

x= 516 / 516

x = 1

y = - 1548 / 516

y = -3

z = 3096 / 516

z = 6

ÁLGEBRA LINEAR (Subespaços Lineares)

1) Decida quais dos seguintes conjuntos geram R³

a) {(1, 3, 3), (4, 6, 4), (-2, 0, 2), (3, 3, 1)}

b) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

c) {(1, 4, 2), (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}

d) {(26, 47, 29), (0, 0, 0), (123, 0, 489)}

Resp: Letra b: pois são 3 vetores (x, y, z)


2) Qual o subespaço gerado por S= {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}

Solução:

a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (x , y, z)

a + b + c = x
b + c = y
c = z

c = z

b + c = y
b = y - c

a + b + c = x
a = x - y

S{(a, b,c) E R³  / a = x= y , b = y - z  e c = z)}

Dimensão  S = 3


3) Determine quais dos subconjuntos são bases de R²

a) {(1, 0), (0, 1)} É BASE: LI E GERA R²
b) {(1, 1), (0, 3)} É BASE E LI : E GERA R²
c) {(1, 0), (0, 3), (2, 5)} NÃO É BASE, POIS É LD -> R²    MAS GERA 3 VETORES
d) {(1, 2)} NÃO GERA R²
e) {(1, 1), (0, 0)}  É LD


4) Calcule uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços de cada um dos seguintes subespaços lineares.

a) S={(x, y) E R² / x + y  = 0}

b) S={(x, y, z) E R³ / x + y + 2z = 0}

c) S={(S={(x, y) E R³ / x + y + z = 0 e  x + y + 2z = 0}

d) S = {(x, y ,z , w) E R³  / x + y + z + w = 0 e   x + y + 2z = 0}

Solução:

a) x + y = 0
x = - y

S= {(-y, y), y E R }
Base = {(-1, 1)}
Dim S= 1


b) x + y + 2z = 0
x = -y - 2z

S = {(-y - 2z, y, z), y, z E R}
Base: y =1 , z = 0 e y = 0 e z = 1
Base de S = {(-1, 1, 0), (-2, 0, 1)}

Dim S = 2


c) x + y + z = 0
x + y + 2z = 0


x = -y - z
z = 0

S = {(-y -z, y, 0) onde z = 0}

S = {(-y, y, 0), y E R}

Dim S = 1
Base de S = {(-1, 1, 0)}


d) x + y + z + w = 0
x + y + 2z = 0

-z + w = 0
w = z

S = {(x, y, w, w) / y , y, z E R }  ou  S = {(x, y, z, z) / x,  y, z E R }

Base = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}
Dim S = 3 //