GEOMETRIA ANALÍTICA / Ângulo entre vetores

1) Determine o ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas conforme a figura.

Solução:

U= (1,0,0)

V=(1,1,1)

<U,V> = (1.1 + 0.1+ 0.1)

<U,V) = 1

U== 1

V=

arc cos θ

2) Dado o tetraedro de arestas OA, OB e OC, conforme a figura abaixo, sabemos que: OA = (x, 3,4)  OB= (0,4,2) e OC= (1,3,2). calcule o valor de x para que o volume desse tetraedro seja igual a 6 u.v

sabemos que o volume Vt do tetraedro é dado por:

Vt = 1/6 ||<OA X OB, OC>||

Solução:

Vt = 1/6 ||<OA X OB, OC>||

                |x 3 4|

Vt = 1/6 . |0 4 2|         D= 2x - 10

                |1 3 2|

Vt = 1/6 <2x - 10>

6 = 1/2 + (2x - 10)

12 = 2x - 10

12 + 10 = 2x

x = 22 / 2

x = 11

Geometria Analítica

Volume do paralelepípedo

Determine o volume do paralelepípedo de arestas AB, AC e AD, sendo A= (2,1,3) , B= (3,2,3) e 

D= (1,2,3)

Solução:

U = AB = (0,6,1)

V = AC = (1,1,0)

W= AD = (-1,-3,0)   fazendo seu determinante

Volume= [ U,V,W ] | 0  6  1|

                                | 1   1 0|

                                |-1 -3 0|

Volume = 2 u.v

Matrizes

Escreva a matriz A= (aij) nos seguintes casos:

a) A e uma matriz do tipo 3 x 4 com:

aij = -1 para i = 2j

aij = a para i ≠ 2j

b) A é uma matriz quadrada de 4 ordem com:

aij = 0 para i + j = 4

aij = -1 para i + j ≠ 4

Resolução:

a)

Na letra a   aij = -1 para i = 2j  é para fazer o dobro, então :

a11 a12 a13 a14     |a  -1  a  a

a21 a22 a23 a24  = |a   a  a  -1

a31 a32 a33 a34     |a   a  a   a

Resolução da letra b

b)

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34   =

a41 a42 a43 a44

-1 -1  0  -1

-1  0 -1  -1

0  -1 -1  -1

-1 -1 -1  -1

FUNCÃO E POTENCIA // Algoritmo e programação

algoritmo "38"
// Faça um algoritmo que leia 2 valores inteiros e positivos: X e Y.
// O algoritmo deve calcular e escrever a função potência XY.
var
x,y: inteiro
expoente: real
inicio
expoente <-0
escreval("Informe o valor X (onde X é a base)")
leia(x)
escreval("Informe o valor Y (onde Y é o expoente)")
leia(y)
se y=0 entao
escreval("Esta função tem o valor de: (1)")
senao
se y=1 entao
escreval("A função de f(",x," ) é=", x)
senao
expoente <-x^y
escreval("A função de F(",x," ) é=", expoente)
fimse
fimse



fimalgoritmo

MATRICULA DE ALUNOS // Algoritmo e programação

algoritmo "Matricula de Aluno (a)"
// Faca um algoritmo que: Le os seguintes dados de 10 Aluno (a)s de uma turma de ¡§Algoritmo e Programacao¡
//matricula, nome e a nota de cada um dos dois bimestres (nota bimestral);
// Calcula a media semestral de cada Aluno (a);
// Mostra na tela a lista de Aluno (a)s (matricula, nome e media)
//que foram aprovados sem exame e a respectiva media semestral (um Aluno (a) e aprovado se sua media semestral for maior ou igual a 7);

// Mostra na tela a lista de Aluno (a)s (matricula, nome e media) que foram reprovados sem direito a fazer o exame final
//(caso media semestral seja menor que 4);
//Solicita a nota do exame de cada Aluno (a) que precisou fazer o exame.
// Entao calcula a media final destes Aluno (a)s. Apresenta ao final, a matricula, nome, media e situacao final
//(aprovado¡¨, se media maior ou igual a 6 e ¡§reprovado¡¨, caso contrario)
var
m1: inteiro
a1: caractere
n1, n2, media, mediafinal, notaexame : real

inicio
para m1 de 1 ate 10 faca
escreval
   escreval ("MATRÍCULA SOMENTE NÚMEROS:")
   leia (m1)
   escreval ("Nome do Aluno (a):")
   leia (a1)
   escreval ("Nota do [1°] bimestre / nota do [2°] bimestre:")
   leia (n1,n2)
   media <- (n1+n2)/2
   se (media >=7) entao
   limpatela
      escreval ("Aluno (a) (a): [",a1, "] Matricula: [",m1, "] média obtida [",media, "] está aprovado (a)")
   fimse
   se (media <4) entao
      escreval ("Aluno (a): (a) [",a1, "] Matricula: [",m1, "] média obtida [",media, "] está reprovado (a)")

   fimse
   se (media >=4) e (media <=6.99) entao
   limpatela
      escreval ("Exame final")
      escreval ("Digite a nota do exame final")
      leia (notaexame)
      mediafinal <- (notaexame + media)/2
      se (mediafinal >=6) entao
      limpatela
         escreval ("Aluno (a): [",a1, "] Matricula= [",m1, "] Média final= [",mediafinal, "] Aprovado no exame no final:")
      senao
         escreval ("Aluno (a): [",a1, "] Matricula= [",m1, "] Média final= [",mediafinal, "] Reprovado no exame final")
      fimse
   fimse
fimpara

fimalgoritmo

IPTU // Algoritmo e programação

algoritmo "22"
// Em certo municipio, 30 proprietarios de imoveis estao em atraso com o pagamento do IPTU.
// - Escreva um algoritmo que calcule e escreva o valor da multa a ser paga por estes proprietarios,
//- considerando que:
//-Os dados de cada imovel
//- (identificacao,
//- valor do imposto
// e numero de meses em atraso)
//- deverao ser lidos do usuario.
//- As multas devem ser calculadas no valor de 1% por mes de atraso.
//- O algoritmo deve exibir: a identificacao de imovel,
//- valor do imposto,
//- a multa a ser paga e o total devido pelo proprietario (imposto + multa).
var
atraso: inteiro
multa, iptu, total: real
prop, imovel, ident: caractere

inicio
para atraso de 1 ate 30 faca
escreval ("NOME DO PROPRIETÁRIO (a)")
leia (prop)
escreval ("Dados do imóvel:")
leia (imovel)
escreval ("Número de [Identificação]")
leia (ident)
escreval ("Valor do IPTU")
leia (iptu)
escreval ("Meses em atraso")
leia (atraso)
multa <- (0.01 * atraso)
total <- (iptu + multa)
limpatela
escreval ("Imóvel: ",ident, " multa a ser paga ",multa, " R$")
escreval ("Total a ser pago pelo proprietário (a): ",prop, " é de: ",total, " R$")
escreval
fimpara

HIPOTENUSA // Algoritmo e programação

Faça um algoritmo que calcule a hipotenusa de um triangulo

algoritmo "Hipotenusa"
// Função :
// Autor :
// Data : 11/12/2013
// Seção de Declarações 
var oposto, adjacente, hipotenusa: real

inicio
escreval ("digite o cateto oposto")
leia (oposto)
escreval ("digite o cateto adjacente")
leia (adjacente)
hipotenusa <- raizq (oposto^2 + adjacente^2)
escreval ("Hipotenusa gerada é: ",hipotenusa)

// Seção de Comandos 
fimalgoritmo

MOD de 2 e 3 // Algoritmo e programação

algoritmo "43"
// Função :
// Autor :
// Data : 28/11/2013
// Seção de Declarações 
var
A, B, C, D:inteiro
inicio

escreval ("Digite [4] números")
leia (A,B,C,D)

se (A mod 2= 0)entao
   escreval(A," é divisível por [2] ")
   senao
   se (A mod 3 = 0) entao
     escreval(A," é divisivel por [3] ")
     fimse
fimse

se (B mod 2 = 0) entao
    escreval(B," é divisível por [2] ")
    senao
     se (B mod 3 = 0) entao
      escreval(B," é divisivel por [3] ")
      fimse
fimse

se (C mod 2 = 0) entao
   escreval(C," é divisível por [2] ")
   senao
     se (C mod 3 = 0) entao
      escreval(C," é divisivel por [3] ")
      fimse
fimse

se (D mod 2= 0) entao
   escreval(D," é divisível por [2] ")
   senao
     se (D mod 3 = 0) entao
      escreval(D," é divisivel por [3] ")
      fimse
fimse

fimalgoritmo

FATORIAL DE UM NÚMERO // Algoritmo e programação

algoritmo "40"
//Elabore um algoritmo que leia um número qualquer digitado pelo usuário
// e calcule seu Fatorial. (Exemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1)
// Autor :
// Data : 13/11/2013
// Seção de Declarações 
var

n, i, fatorial: inteiro

inicio
// Seção de Comandos

escreva("Digite um numero: ")
leia(n)

fatorial<-1

para i de 1 ate n faca

fatorial<-fatorial*i

fimpara

escreval("O fatorial de ",n," é: ",fatorial)

fimalgoritmo

Numero positivo e negativo // Algoritmo e programação

algoritmo "37l"
// Escreva um programa que leia um número inteiro. Se o número lido for positivo,
// escreva uma mensagem indicando se ele é par ou ímpar.
// Se o número for negativo, escreva a seguinte mensagem
//“Este número não é positivo”.
var
   num,resto : inteiro
inicio
   escreval("Digite um número")
   leia(num)
   resto <- num mod 2
   se ( resto = 0) entao
      escreva("O numero ",NUM, " é par e ")
   senao
      escreva("O numero ",num," é ímpar e ")
   fimse
   se ( num >= 0) entao
      escreval(" positivo.")
   senao
      escreval(" não é positivo.")
   fimse

fimalgoritmo

VOLUME // Algoritmo e programação

algoritmo "32 "
// Faça um algoritmo que determine o volume de uma caixa d’água cilíndrica,
// sendo que o raio e a altura devem ser fornecidos (lidos pelo teclado).
//Formula: V = PI * Raio^2 * Altura
var
raio,altura,volume:real
inicio
escreval("Digite valor do raio:")
leia(raio)
escreval("Digite valor da altura:")
leia(altura)
volume<- PI * raio^2 * altura
escreva("Volume do cilindro é:",volume, " Metros cúbicos")
fimalgoritmo

Horas trabalhadas // Algoritmo e programação

algoritmo "semnome"
// Função :
// Autor :
// Data : 13/11/2013
// Seção de Declarações

Escrever um algoritmo que lê o nome de um funcionário, o número de horas trabalhadas, o valor que recebe por hora e o número de filhos. Com estas informações, calcular o salário deste funcionário, sabendo que para cada filho, o funcionário recebe 3% a mais, calculado sobre o salário bruto.


var
nome: caractere
horas, filhos: inteiro
vhora, sal, salbruto: real
inicio
escreva ("Digite o nome do funcionário: ")
leia (nome)
escreva ("Digite o número de horas trabalhadas: ")
leia (horas)
escreva ("Digite o valor que ele recebe por hora: ")
leia (vhora)
escreva ("Digite o número de filhos que o funcionário tem: ")
leia (filhos)

salbruto <- vhora * horas
sal <- (filhos * 0.03 * salbruto) + salbruto

escreval

escreva ("Salário do funcionário ", nome, "é de: R$", sal," reais")

fimalgoritmo

SALÁRIO X FINANCIAMENTO // Algoritmo e programação

algoritmo "salario x financiamento"
//Faça um algoritmo que receba o valor do salário de uma pessoa e o valor
//de um financiamento pretendido. Caso o financiamento seja menor ou igual a 5
// vezes o salário da pessoa, o algoritmo deverá escrever "Financiamento Concedido";
// senão, ele deverá escrever "Financiamento Negado".
//Independente de conceder ou não o financiamento, o algoritmo escreverá depois a frase "Obrigado por nos consultar”.

var
salario,finan:real
inicio
Escreval("Digite o seu salario.")
leia(salario)
Escreval("Digite o valor do seu financiamento.")
leia(finan)
salario <-salario*5
se (salario >= finan) entao
   Escreval("Financiamento Concedido!")
senao
   Escreval("Financiamento Negado!")
fimse
Escreval("Obrigado por nos consultar.")
fimalgoritmo

100 VALORES // Algoritmo e programação

Faça um algoritmo que leia 100 valores e os escreva na ordem contrária à que foram digitados.

algoritmo "semnome"
// Função :
// Autor :
// Data : 13/11/2013
// Seção de Declarações 
var
num:vetor[1..100]de inteiro
i:inteiro
inicio
para i de 1 ate 100 faca
escreval("Informe um número:")
leia(num[i])
fimpara
para i de 100 ate 1 passo -1 faca
escreval(num[i])
fimpara
fimalgoritmo

NOTAS DE ALUNOS E TURMA // Algoritmo e programação

Elabore um algoritmo que permita ler 6 notas de alunos de uma turma e os respectivos nomes, identifique qual a nota máxima e a mínima e mostre quais os respectivos nomes dos alunos que as obtiveram.

algoritmo "20"
var
nota: vetor[1..6] de real
nome: vetor[1..6] de caractere
max,min: real
i: inteiro
inicio
max <- 0
min <- 10
Para i de 1 ate 6 faca
Escreval("Digite o nome do(a) aluno(a) ",i, ".")
Leia(nome[i])
Escreval("Digite a nota do(a) ", nome[i], ".")
Leia(nota[i])
se (nota[i]>max) entao
max <- nota[i]
fimse
se (nota[i]<min) entao
min <- nota[i]
fimse
fimpara
limpatela
Escreva("Nota máxima: ", max)
para i de 1 ate 6 faca
se (nota[i]=max) entao
Escreval(". Aluno (a): ", nome[i])
fimse
fimpara
Escreva("Nota mínima: ", min)
para i de 1 ate 6 faca
se (nota[i]=min) entao
Escreval(". Aluno (a): ", nome[i])
fimse
fimpara
fimalgoritmo

LEITURA DE 20 NÚMEROS // Algoritmo e programação

Faça um algoritmo para ler 20 números e armazenar em um vetor. Após a leitura total dos 20 números, o algoritmo deve escrever esses 20 números lidos na ordem inversa.

algoritmo "17"
// Função :
// Autor :
// Data : 10/11/2013
// Seção de Declarações 
var
indice: inteiro
p20: vetor [1..20] de inteiro

inicio
para indice de 1 ate 20 faca
p20 [indice] <- (indice)
fimpara
para indice de 20 ate 1 passo -1 faca
escreval (p20 [indice])
fimpara



// Seção de Comandos 
fimalgoritmo

CONCESSIONÁRIA CARANGO VELHO // Algoritmo e programação

A concessionária de veículos “CARANGO VELHO” está vendendo os seus veículos com desconto. Faça um algoritmo que calcule e exiba o valor do desconto e o valor a ser pago pelo cliente de vários carros. O desconto deverá ser calculado de acordo com o ano do veículo. Até 2008 - 12% e acima de 2008 - 7%. O sistema deverá perguntar se deseja continuar calculando desconto até que a resposta seja: “(N) Não” . Informar total de carros com ano até 2008 e total geral.

algoritmo "Carango velho"
// Função :
// Autor : Henrique de Amorim
// Data : 28/11/2013
// Seção de Declarações 
var
programa, opc: caractere
ano, total, total2000: inteiro
valor, valorFinal, desconto: real

inicio
// Seção de Comandos
programa <- "S"
enquanto programa <> "N" faca
    limpatela
    escreva("Digite o valor do carro: ")
    leia(valor)
    escreva("Digite o ano do carro: ")
    leia(ano)
    se ano <= 2000 entao
        desconto <- 0.12
        total2000 <- total2000 + 1
        total <- total + 1
    senao
        desconto <- 0.07
        total <- total + 1
    fimse
    desconto <- desconto * valor
    valorFinal <- valor - desconto
    escreval("O valor do carro com desconto é de: ",valorFinal)
    escreval("")
    escreva("Deseja continuar calculando? (S) Sim - (N) Não - ")
    leia(opc)
    escolha opc
        caso "S"
            programa <- "S"
        caso "N"
            programa <- "N"
        outrocaso
            programa <- "S"
            limpatela
            escreval("As opções disponíveis são apenas S ou N!!!")
            leia(opc)
    fimescolha
fimenquanto
escreval("Foram calculados",total2000," carro(s) com ano até 2000")
escreval("Total geral: ",total)

fimalgoritmo

FIBONACCI // Algoritmo e programação

algoritmo "sucessão de Fibonacci"
//Um matemático italiano conseguiu modelar o ritmo de crescimento da população
 //de coelhos através de uma sequência de números naturais que passou a ser
 //conhecida como sequência de Fibonacci. O n-ésimo número da sequência de
 //Fibonacci é dado por:
 //F1 = 1
 //F2 = 1
 //Fi = Fi - 1 + Fi - 2, para i > 2.
 //Por exemplo, os sete primeiros elementos são: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.
 //Desenvolva um algoritmo que lê N e mostra o N-ésimo elemento da série.

var f1,f2,f3,f5,f8,f13,f21,f34,f89: inteiro

inicio
f1<-1+0
f2<-1+0
f3<-f1+f2
f5<- f2+f3
f8<- f3+f5
f13<-f5+f8
f21<-f8+f13
f34<-f13+f21
f89<-f21+f34
escreval (f1,f2,f3,f5,f8,f13,f21,f34,f89)
escreval ("O último termo é ",f89)


fimalgoritmo

Algoritmo e programação

algoritmo "11"
// Data : 26/11/2013
// Seção de Declarações
//A prefeitura de uma cidade fez uma pesquisa entre seus habitantes, coletando dados sobre o salário e número de filhos.  A prefeitura deseja saber: ·
// a) média do salário da população;
// b) média do número de filhos;
// c) maior salário;
// d) percentual de pessoas com salário até R$250,00.

var
salario, filhos, mediasalario, mediafilhos, totalsalario, maiorsalario : real
quantidade250, totalfamilia, totalfilhos, percentual :real

inicio
mediasalario <-0
mediafilhos <-0
maiorsalario <-0
quantidade250 <-0
totalfamilia <-0

escreval ("Digite a quantidade de filhos")
leia (filhos)
escreval ("Digite o salário da familia")
leia (salario)
enquanto (salario >0) faca

totalsalario <- totalsalario + salario
totalfilhos <- totalfilhos + filhos
totalfamilia <- totalfamilia + 1
se (salario > maiorsalario) entao
maiorsalario <- salario
fimse

se (salario <= 250) entao
quantidade250 <- +1
fimse
limpatela

escreval ("PARA SAIR DIGITE A QUANTIDADE DE FILHOS E O SALÁRIO COM O VALOR [0]")
escreval ("Digite a quantidade de filhos")
leia (filhos)
escreval ("Digite o salário da familia")
leia (salario)

mediasalario <-totalsalario / totalfamilia
mediafilhos <- totalfilhos / totalfamilia
percentual <- quantidade250 * 100 / totalfamilia
escreval ("A média de salário da população é de R$ ",mediasalario)
escreval ("A média de filhos por familia é de : ", mediafilhos)
escreval ("O maior salário encontrado foi de R$ : ",maiorsalario)
escreval ("O percentual de familias com salário de até R$ 250,00 reais é de :",percentual)
fimenquanto
fimalgoritmo

Algoritmo e programação

algoritmo "semnome"
// Escreva um algoritmo que leia 3 números inteiros e mostre o maior deles.

var
a,b,c: inteiro

inicio
escreval ("Digite 3 números")
leia (a,b,c)
se (a > b) e (b>c) entao
escreval ("Maior número: ",a)
fimse
se (b>a) e (a>c) entao
escreval ("Maior número: ",b)
fimse
se (c>b) e (b>a) entao
escreval ("Maior número: ",c)
fimse
se (a>c) e (c>b) entao
escreval ("Maior número: ",a)
fimse
se (c>a) e (a>b) entao
escreval ("Maior número: ",c)
fimse
se (b>c) e (c>a) entao
escreval ("Maior número: ",b)
fimse
// Seção de Comandos
fimalgoritmo

Escalonamento de Sistema Lineares

Considerando o sistema
x   + y  + z  = 7
2x + y   - z = 9
x - 2y + 2z = 2

O valor da incógnita de Z é:

Resolução: 
Multiplique a primeira equação por (-2) e adicionamos a  segunda x - y - z = 7        (-2)
-2x  -2 y - 2z = -14
2x + y - z = 9

-y - 3z = -5

Multiplique a primeira por (-1) soma com a terceira
x - y + z = 7   (-1)

-x  - y  - z = -7
x - 2y + 2z = 2

-3 y + z = -5

Do sistema inicial montamos um sistema equivalente 

-y  - 3z = -5
-3y + z = -5

Como precisamos de z vamos cancelar y assim multiplicamos a primeira equação por (-3) e somamos com a segunda:

-y  - 3z = - 5  (-3)

3y  + 9 z = 15
-3y + z = -5

10z = 10
z = 10 / 10
z = 1



CONSIDERANDO O SEGUINTE SISTEMA DE EQUAÇÃO LINEAR CALCULE O PRODUTO DE X Y Z T

x  + y   +  z = 11
x  - y  -  z -  t = -9
- x + y - z - t = -7
-x - y +  z  - t = -5

Resolução:

x  + y  + z +  t = 11
-x + y  - z  - t = - 9

2 x = 2
x = 2 / 2
x = 1

Agora somando a equaão 3 com a 4

-x  + y  -  z -t = -7
-x - y + z - t  = -5

2x - 2t = -12


x = 1  logo :

-2 . 1 - 2t = -12
-2t = -12 + 2
-2t = -10
t = -10 / 2
t = 5

Agora a equação 2 somada com a 3 

x - y - z - t = -9
-z +  y - z - t = -7

-2z - 2t = -16

t = 5 assim temos que

-2 z - 2 . 5 = -16
-2z = -16 + 10
-2z = -6
 z = 3

então X, Y , Z e T será

X = 1
Y = 2
T = 5
Z = 3    = 30

Sistema Linear

Quaisquer que que sejam os numeros reais a, b e c o determinante da matriz

1   1       1   1
1  1+a    1   1
1   1    1+b  1
1   1       1  x+c    é dado por:

Resolução:

1   1       1   1
1  1+a    1   1
1   1    1+b  1
1   1       1  x+c

Utilizando o teorema de Jacobi, para encontrar o determinante através do teorema de Laplace (-1) . L4 = L4

1   1       1   1
1  1+a    1   1
1   1    1+b  1
0   0       0   c

para encontrar o determinante dessa matriz, através de Laplace escolha a linha 4 e encontre o cofator do elemento a44 e multiplique por este elemento

det = a44 . A44

det = c . (-1) ^4+4

1   1       1   1|  1    1
1  1+a    1   1|  1   1+a
1   1    1+b  1|  1    1

det = c . 1 (1+a) . (1+b) + 2 - 1 - a - 1 -1 - b
det = c . 1 (1+b + ab + a - 1 -b)
det = c (ab)
det = abc

Sistema Linear

Para qual valor de m o sistema admite infinitas soluções?

|mx - 2y - z = 0
|x - my - 2z = 0
| 3x - 2y = 0

Resolução: multiplique a primeira por (-2) e some com a segunda

-2mx + 4y + 2z = 0       
x - my - 2z = 0


(-2m + 1) x + (4 - m) y = 0
3x - 2y = 0

Agora para termos um SPI , precisamos que na soma das duas equações os coeficiente zerem. No coeficiente x temos o valor 3 na segunda equação, dessa forma, o coeficiente de x da primeira equação deve ser -3

-2m + 1 = -3
-2m = - 4
m = - 4 / - 2
m = 2

E no coeficiente de y da primeira equação devemos ter o valor 2:

4 - m = 2
m = 4 - 2
m = 2

Discussão de Sistema Linear

O sistema linear 
|x + ay - 2z = 0
|x +  y  + z = 1
|x  - y   -  z = 3      não admite solução se a for igual a:

a) 0 
b) 1
c) -1
d) 2
e) -2

Resolução:
Somando a segunda com a terceira

2x = 4
x  = 2

Agora, somamos a primeira com o dobro da segunda

{ x + az - 2z = 0
{ 2x + 2y + 2z = 2
3x + ay + 2y = 2

como x = 2, então :
6 + (a+2) y = 2
(a + 2) y = 2 - 6
(a+ 2) y = -4

Para ser SI, basta que a a + 2 seja igual a zero, logo:

a = - 4 + 2
a = -2

Resposta letra E

DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES

Discuta o sistema abaixo em relação aos parâmetros a e b:

[ 3x  +   2 by = 1
[ 12x  + 8y = a

Resolução:
Multiplica a primeira equação por (-4) e soma com a segunda, assim:

{ - 12x  - 8by = -4
{ 12x + 8y = a

-12x - 12x -8by  + 8y = -4 + a
-8by + 8y = -4 + a
(-8b + 8) y = -4 + a

Logo: é preciso que o coeficiente de y seja diferente de zero

- 8b + 8 ≠ 0
- 8b ≠ - 8
 b ≠ 1

Precisamos de 0y = 0, ou seja que o coeficiente de y seja igual a zero e que o valor apos a igualdade seja igual a zero também, dessa forma:

- 8b + 8 = 0
-8b = - 8
b = 1


- 4 + a ≠ 0
a ≠ 4

Resposta: {SPD para b ≠ 1; SPI para a = 4 e b = 1; e SI para a ≠ 4 e b = 1}

ACERVO TÉCNICO

Modelo de Acervo Técnico

CERTIDÃO DE REGISTRO DE ATESTADO

Modelo de Registro de Atestado

ATESTADO DE CAPACIDADE TÉCNICA

Modelo de Atestado de Capacidade Técnica

ATESTADO DE CAPACIDADE TÉCNICA

A empresa ________, inscrita no CNPJ sob nº __________, situada ______________________ (endereço completo), atesta para os devidos fins que a empresa ________(empresa requerente), inscrita no CNPJ sob nº________ , situada____________ (endereço completo), forneceu os materiais ou prestou os serviços abaixo especificados em plenas condições de uso, no prazo de entrega estabelecido.

Atestamos que tais fornecimentos ou prestações de serviços foram executado(a)s satisfatoriamente, não existindo em nossos registros, até a presente data, fatos que desabonem sua conduta e responsabilidade com as obrigações assumidas.

___________________________

Local/Data/Assinatura

OBS.: O documento deve ser redigido em papel timbrado da Pessoa Jurídica Pública ou Privada, datado e assinado pelo representante legal ou por um dos sócios da referida empresa atestadora. O atestado deve ser autenticado em cartório, ou ser apresentado original acompanhado da cópia, cuja autenticidade será conferida por servidor da Unidade do CADFOR - Secretaria de Administração do Estado de Pernambuco.

Nesse atestado deve-se comprovar a aptidão para o desempenho de atividades pertinentes, compatíveis em características, quantidades e prazos de acordo com o objeto social da empresa.

Esse atestado não pode ser fornecido por Pessoa Física.

Anotação de responsabilidade técnica

Modelo de Anotação de Responsabilidade Técnica ART

A Anotação de Responsabilidade Técnica-ART, tem por finalidade estabelecer que todos os contratos referentes à execução de serviços ou obras de Engenharia, Agronomia, Geologia, Geografia ou Meteorologia deverão ser objeto de anotação no Conselho Regional de Engenharia e Agronomia – Crea-DF.

Conforme estabelece a Resolução nº 1.025, de 2009, do Confea, fica sujeito à anotação de responsabilidade técnica no Crea em cuja circunscrição for exercida a respectiva atividade:

•    todo contrato referente à execução de obras ou prestação de serviços relativos às profissões vinculadas à Engenharia, Agronomia, Geologia, Geografia ou Meteorologia; e

•    todo vínculo de profissional com pessoa jurídica para o desempenho de cargo ou função que envolva atividades para as quais sejam necessários habilitação legal e conhecimentos técnicos nas profissões retromencionadas.

A anotação é feita por meio do formulário eletrônico, disponível no sítio do Crea-DF na Internet. Nele são declarados os principais dados do contrato firmado entre o profissional e seu cliente (no caso de profissional autônomo), ou ainda entre o contratado e o contratante (no caso de profissional com vínculo empregatício).

2. QUEM DEVE REGISTRAR A ART

Quando possuir vínculo contratual com pessoa jurídica, cabe ao profissional registrar a ART e à empresa/instituição o pagamento do valor correspondente a esse serviço.

Devem registrar a ART todos os profissionais legalmente habilitados que exercem suas profissões em organizações que executam obras ou serviços de Engenharia, Agronomia, Geologia, Geografia ou Meteorologia.

3. FUNÇÃO DA ART

Defesa da Sociedade

A ART é um instrumento indispensável para identificar a responsabilidade técnica pelas obras ou serviços prestados por profissionais ou empresas. A ART assegura à sociedade que essas atividades técnicas são realizadas por um profissional habilitado. Neste sentido, a ART tem uma nítida função de defesa da sociedade, proporcionando também segurança técnica e jurídica para quem contrata e para quem é contratado.

Para mais informações acesse: 
http://www.creape.org.br/web/crea-pe/art1
http://www.creadf.org.br/index.php/template/lorem-ipsum/o-que-e-art
http://www.crq4.org.br/art_geral
http://www.crea-sc.org.br/portal/index.php?cmd=guia-manuais-formularios-detalhe&id=26
http://www.youtube.com/watch?v=FqElAYUg6d4

EQUAÇÃO DE MATRIZES

Em R, a solução da equação é:

 2     x    3|
-2   -x    4|
 1    -3   x|

Resolução:

 2     x  3|  2   x
-2   -x  4| -2 -x
1    -3  x| 1   -3

2 (-x) . x + x.4 .1 . (-2) (-3) - {1 . (-x) . 3 + (-3) . 4 . 2 + x . (-2) . x} = 175
-2x^2 + 4x + 18 - (-3x - 24 - 2x^2) = 175
-2x^2 + 4x + 18 + 3x + 24 + 2x^2) = 175
7x = 175 - 42
7x = 133
x = 133/7
x = 19

S= {19}

OPERAÇÕES COM MATRIZES

Operações e igualdade

Sendo
[ 1   x ] + [ 3  6] = [ 4  18]
[2   5y]    [-1  3]     [1   -7]    o valor de 5xy/6 é igual a ?

Resolução:

[ 4  x+6 ] =  [ 4  18]
[1  5y+3]     [ 1   -7]

logo:
x + 6 = 18
x = 18 - 6
x = 12

5y + 3 = -7
5y = -7 -3
5y = -10
y = -2

então a questão pede:
5xy / 6

= 5 . 12 . (-2)
= -20

Operações com matrizes

OPERAÇÕES E IGUALDADE

Dadas as matrizes:

A= [ 2x + 1   -3y     -1 ]     e B= [ x    0]
      [     0         4     x+z]              [12   4]
                                                   [-1   6]

Se A = é a matriz transposta de B, o valor de  X, Y e Z é:

Resolução:
= [ x  12  -1]
                     [0    4    6]

fazendo A =

[2x+1   -3y    -1] = [x   12  -1]
[   0        4    x+z] = [ 0  4    6]

entao:

2x + 1 = x
2x -x = -1
x = -1

-3y = 12
y = -4

x + z = 6
-1 + z = 6
z = 6 + 1
z = 7

fazendo x, y e z
(-1).(-4).7 = 28

Leitura de Matriz 3X4

algoritmo "matriz 3 x 4"
// Autor : Henrique de Amorim
// Data : 03/12/2013
// Seção de Declarações 
 var

mtr: vetor[1..3,1..4] de real
i,j: inteiro
inicio
// Seção de Comandos
para i de 1 ate 3 faca
     para j de 1 ate 4 faca
          escreval("DIGITE UM NUMERO")
          leia (mtr[i,j])
     fimpara
fimpara
para i de 1 ate 3 faca
     para j de 1 ate 4 faca
          escreva(mtr[i,j],"   ")
     fimpara
     escreval("")
fimpara
fimalgoritmo

Soma Entre Vetores

algoritmo "soma de vetores"
// Autor : Henrique de Amorim
// Data : 03/12/2013
// Seção de Declarações 
var

v1: vetor[1..5] de inteiro
v2: vetor[1..5] de inteiro
v3: vetor[1..5] de inteiro
i, maior, menor: inteiro
inicio
// Seção de Comandos
para i de 1 ate 5 faca
     escreva("DIGITE UM NUMERO: ")
     leia (v1[i])
fimpara
para i de 1 ate 5 faca
     escreva("DIGITE UM NUMERO: ")
     LEIA (v2[i])
fimpara
para i de 1 ate 5 faca
     v3[i]<-v1[i]+v2[i]
     escreval(v3[i])
     se (menor=0) entao
        menor<-v3[i]
     senao
        se (menor>v3[i]) entao
           menor<-v3[i]
        fimse
     fimse
     se (maior<v3[i]) entao
        maior<-v3[i]
     fimse
fimpara
escreval ("A MENOR SOMA E ", menor)
escreval ("A MAIOR SOMA E ", maior)
fimalgoritmo

Matriz 2: Gerar matriz com cubo dos elementos de outra matriz

// Autor : Henrique de Amorim
// Data : 03/12/2013
// Seção de Declarações 
var

mat1: vetor[1..5,1..5] de real
mat2: vetor[1..5,1..5] de real
i,j: inteiro
inicio
// Seção de Comandos
para i de 1 ate 5 faca
     para j de 1 ate 5 faca
          escreva("DIGITE UM NUMERO: ")
          leia(mat1[i,j])
          mat2[i,j]<-mat1[i,j]^3
     fimpara
fimpara
para i de 1 ate 5 faca
     para j de 1 ate 5 faca
          escreva(mat2[i,j], "   ")
     fimpara
     escreval("")
fimpara
escreval("O ELEMENTO CENTRAL DA NOVA MATRIZ E ",mat2[3,3])

fimalgoritmo

Gerar matriz transposta

algoritmo "semnome" // Autor : Henrique de Amorim // Data : 03/12/2013 // Seção de Declarações   var mat1: vetor[1..2,1..3] de real mat2: vetor[1..3,1..2] de real i,j: inteiro inicio // Seção de Comandos para i de 1 ate 2 faca      para j de 1 ate 3 faca           escreva("DIGITE UM NUMERO: ")           leia(mat1[i,j])           mat2[j,i]<-mat1[i,j]      fimpara fimpara para i de 1 ate 2 faca      para j de 1 ate 3 faca           escreva (mat1[i,j],"  ")      fimpara      escreval("") fimpara escreval("") para j de 1 ate 3 faca      para i de 1 ate 2 faca           escreva (mat2[j,i],"  ")      fimpara      escreval("") fimpara fimalgoritmo